蒋巧云，袁邢华



稠密集与疏朗集

蒋巧云1，袁邢华

（南通大学 理学院，江苏 南通 226019）

从定义、基数和测度等方面讨论了稠密集与疏朗集之间的关系，使得学生更好地了解和掌握这个内容．

基数；测度；稠密集；疏朗集

实变函数是本科阶段数学专业的一门重要专业基础课，由于该课程具有概念性强、内容抽象、推理严谨、题目难做等特点．因此，成为数学系专业课程中公认的既难教又难学的一门课程．把握好教材教法是上好这门课的关键，本文就稠密集与疏朗集作出一些简单的探讨．

1　定义

定义1[1]设，若，则称为中的稠密集；若，则称为中的无处稠密集（疏朗集）；可数多个无处稠密集（疏朗集）的并集称为第一纲集，不是第一纲集的集合称为第二纲集．

定义2[2]设，若对于任意，有，则称为中的稠密集；设，若，有，则称为中的无处稠密集（疏朗集）．

2　稠密集与疏朗集的关系

定理疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集．

但稠密集的余集不一定是疏朗集．如直线上无理数全体所成之集为中的稠密集，但它的余集即直线上有理数全体所成之集也为中的稠密集． 证毕．

3　稠密集与疏朗集的基数

稠密集与疏朗集的基数有如下3种情况：

（1）稠密集的基数大于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，直线上有限多个孤立点所成之集为疏朗集而（有限数），则；直线上无理数全体所成之集为稠密集而，直线上整数全体所成之集为疏朗集而，则．