张新春

基数意义下自然数的运算（一）

张新春

基数意义下的自然数的运算是通过集合的运算来定义的，因此，我们先简单介绍一下集合的运算。

（1）设给定的集合A和B，由至少属于集合A或者集合B之一的元素组成的集合，叫做A与B的并集。记作A∪B。

（2）设给定的集合A和B，由集合A和集合B的所有共同元素组成的集合，叫做A与B的交集。记作A∩B。

“交”与“并”是集合间两种基本的运算，它们都满足交换律与结合律，即：

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

这些集合的运算律都是可以证明的。我们以证明A∪B=B∪A为例。

我们知道A∪B和B∪A都是集合。元素x是A∪B的元素（通常记作：x∈A∪B）指的是x是A的元素或者x是B的元素（也就是x∈A或x∈B）。为了证明A∪B和B∪A这两个集合相等，我们通常用这样的思路：证明集合A∪B的每一个元素都在集合B∪A中，同时，集合B∪A的每一个元素都在集合A∪B中。

设x∈A∪B，则有x∈A或x∈B。（并集的定义）

于是x∈B或x∈A。1

从而x∈B∪A（并集的定义）

以上即证明了A∪B的任意一个元素都是B∪A的元素。

（你可能觉得很无聊，不就是把“或”字两边的内容换一下位置吗？的确是这样，可数学有时候就是这样的：定义是严格的，判断需要根据定义并按照逻辑规则做出。根据定义，x∈A∪B是指x∈A或x∈B，x∈B∪A指的就是x∈B或x∈A，而“x∈A或x∈B”与“x∈B或x∈A”是一个意思，则正是我们所做的推理（使用了数理逻辑命题演算的公理进行推理）。数学推理的最开始几步往往看起来就是这样简单，简单得甚至有点让人觉得不可思议，或者让人觉得多此一举。当你觉得某一步推理简单得不可思议时，你应该提醒提醒自己，当前要证明的这个结论，只能根据已有的定义、被假设为正确的公理、已经被证明了的结论以及基本的逻辑规则来证明，而不能是想当然，也不能依靠直观图形（直观图形只能帮助我们理解，不能代替证明）。……