杨昌义

对一道几何题证法的赏析与思考

杨昌义

一位勤学的学生问了我八年级上册某教辅资料上的一道题，题目是：已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，∠E=∠AFE。求证：EF⊥BC。

教科书上两直线垂直的定义是：两直线相交所成的四个角中，如果有一个是直角，那么这两直线叫做互相垂直。利用定义证明两直线垂直是基本的思维方法。但对刚学证明的学生来说，还是较为困难的。而本题待证的两条线段EF与BC不相交，更增加了难度。考虑到此题比较典型，我在接下来的课上将之作为例题给全班学生进行了详细的分析讲解，并板书了证明过程。

图1

证明：如图2，延长EF，交BC于G。因为∠BAC、∠EAF分别是△AEF和△ABC的外角，所以∠BAC=∠E+∠AFE，∠EAF=∠B+∠C。又因为AB=AC，所以∠B=∠C，且∠E=∠AFE，所以∠BAC=2∠E，∠EAF=2∠C。而∠BAC+∠EAF=180°，所以2∠E+2∠C=180°，所以∠E+∠C=90°，则∠EGC=180°-（∠E+∠C）=90°，所以EG⊥BC，即EF⊥BC。

图2

我是利用三角形外角定理以及平角的定义得到∠E+∠C=90°，再利用三角形内角和定理得到∠EGC=90°，从而得到结论。这一证明方法层次清晰，学生很容易理解和掌握。随后，我让大家思考有没有别的证法。

大家一番沉思后，反应敏锐的生1给出了新的证法。

证法1：如图3（1），过点B作BD∥EF，交CA的延长线于D。则有∠D=∠AEF，∠ABD=∠AFE。因为已知∠AEF =∠AFE，所以∠D=∠ABD。又因为AB=AC，所以∠ABC=∠C。在△DBC中，因为∠D+∠DBC+∠C=180°，即∠D+∠ABD+∠ABC+∠C=180°，也即2∠ABD+2∠ABC=180°，所以∠ABD+∠ABC=90°，即∠DBC=90°，所以DB⊥BC。因为EF∥DB，所以EF⊥BC。

图3（1）

赏析：此证法值得称道的有两点。第一，学生能灵活地将辅助线作到了已知图形的外部，富有创新思维。而且这么添作辅助线后，我们从宏观上可以将本题看作是从Rt△DBC衍生出来的一道题，给人以“一览众山小”之感。第二，这种证法不直接证明EF⊥BC，而是先证DB⊥BC，由BD∥EF间接得到EF⊥BC。这种思维对于初学证明的初中生来说也是一种创新，值得点赞！……