武惠俊

（长治学院数学系，山西长治046011）



关于幂零矩阵的Kronecker积的探讨

武惠俊

（长治学院数学系，山西长治046011）

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，具有良好的性质.文章主要利用矩阵的特征值，给出了矩阵的Kronecker积仍是幂零矩阵的一个充分必要条件，并且得到了关于幂零矩阵的Kronecker积的幂零指数的两个结论。

幂零矩阵；Kronecker积；特征值

1　引言

幂零矩阵是一类特殊的矩阵,具有很多优良的性质。考虑两个幂零矩阵的Kronecker积何时仍是幂零矩阵是一个重要而有趣的问题。文章主要利用矩阵的特征值概念,给出了矩阵的Kronecker积是幂零矩阵的一个充分必要条件,并且讨论了关于幂零矩阵的Kronecker积的幂零指数。

为了方便，文章在一个固定的数域P中讨论，记Pn×n为数域P上的全体n阶矩阵组成的集合。

2　预备知识

定义1[1]设A∈Pn×n，且A≠0,如果存在正整数k，使得Ak=0，则称A为一个幂零矩阵，使得Ak=0成立的最小的正整数k称为A的幂零指数。

定义2设A=（aij）m×n是m×n矩阵，B=（bij）p×q是p×q矩阵，则称mp×nq矩阵。

为矩阵A和B的克罗内克（Kronecker）积，记为AUB。

引理1[2]矩阵的Kronecker积有下列运算性质：

由定义,不难得出：

引理2设A=（aij）m×n是m×n矩阵，B=（bij）p×q是 p×q矩阵,则或B=0。

证明：充分性：显然。

必要性：反证法。若A≠0且B≠0,则A与B中至少都有一个元素不为零,于是AUB≠0，矛盾。

3　主要定理

定理1[3]设A，B分别为m阶和n阶矩阵，它们分别具有特征值λ1，…，λm和μ1，…，μn,则Kronecker积AUB的特征值是λiμj（i=1，…m；j=1，…n）。

证明：由矩阵性质可知，对任意矩阵A，B，都存在可逆矩阵P及Q，使得

其中T1，T2都是上三角矩阵，其主对角线上的元素分别为矩阵A和B的特征值λ1，…，λm和μ1，…，μn。

由定义可知，上三角矩阵的Kronecker积还是上三角矩阵，即T1UT2为上三角矩阵，并且T1UT2的主对角线上的元素恰为λiμj（i=1，…m；