柏素霞

近年来，以圆为载体，通过点的运动或是圆本身的运动来考查与圆有关的最值的题型不在少数，解决这类问题的关键是找出确定最值成立的条件，同学们要学会化未知为已知，与已学知识点相联系，架起思维的桥梁，实现转化，从而找到突破口求解.

一、 结合三角形的中位线定理求解

例1 如图1，AB是☉O的弦，AB=6，点C是☉O上的一个动点，且∠ACB=45°.若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_______.

【分析】根据中位线定理得到，AC最大时，MN最大.AC是圆的一条弦，随着点C的运动，弦AC的长在发生变化，在圆内，直径是最长的弦，因此，当AC过点O为直径时AC最长，从而求得直径后就可以求出最大值.

解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，

∴MN=AC，

∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC为直径时最大，如图2，

∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，

∴AD=6，

∴MN=AD=3，

故答案为：3.

【说明】在解决本类题型时我们要学会动中觅静，要分清在运动过程中图形的不变元素和变动元素，探寻到那些隐含的、在运动变化中没有改变的不变量或不变关系.本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解什么时候MN的值最大.本题中的不变关系就是三角形的中位线定理，通过这个不变关系实现了最大值的转化，通过求AC的最大值从而求得了MN的最大值.

二、 结合垂线段的性质求解

例2 如图3，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画☉O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为___________.

【分析】如图4，由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.根据同圆中同弧所对的圆……