吕定洋

（湖南第一师范学院 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410205）

具有变号位势和非线性项的薛定谔方程的无穷多解

吕定洋

（湖南第一师范学院 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410205）

本文用不同于已有文献的方法研究了一类薛定谔方程的无穷多高能解的存在性，其中位势V（x）允许变号，的原函数所满足的超二次条件与（AR）型条件互为补充。

薛定谔方程；超二次条件；变号位势；高能解

引言

本文考虑如下的半线性薛定谔方程：

该方程不但在物理应用方面有重要的作用，也为数学方法的发展提供了一个很好的模型.利用变分法，方程（1.1）的非平凡解的存在性和多重性得到了广泛研究，参见文献［1-4］，在大多数参考文献中，以下的（AR）条件被经常使用：（AR）存在μ＞2，使得其中F（x，u）=（.AR）条件的作用是用来证明（PS）序列的有界性，这对临界点理论的应用是非常重要的.但有许多函数并不满足（AR）条件，如在文献［5，6］中，作者建立了一些新的超二次条件来代替（AR）条件，其中有些比（AR）条件弱，有些与它互为补充.在最近的文献［7］中，Qingye Zhang等在对V和f做出一些新的假设的情况下，得到了方程（1.1）无穷多非平凡解的存在性结论.在本文中，我们对V和f做如下假设：，且；（）存在一个常数d0，使得

其中meas（.）定义为RN中的勒贝斯格测度.，且存在常数，使得

其中

定理1.1假设（V1），（V2），（f1）-（f4）成立，则问题（1.1）有无穷多解｛uk｝，其对应能量值趋于无穷大.注：1：在我们的假设中V（x）是允许变号的.

2：条件（f3）是由Jeanjean在文［6］中提出的，它比常见的单调性假设弱.有很多函数如前面提到的……