●陈金花　计惠方

(湖州市王勇强名师工作室　浙江湖州　313000)



朴实亦有精彩处

——一道浙江省数学竞赛题的深度思考*

●陈金花计惠方

(湖州市王勇强名师工作室浙江湖州313000)

浙江省数学竞赛试题出题常常表述十分简洁，但仔细思考往往能挖掘出十分丰富的内涵，因此好题、好解法、好的推广形式频频出现．由于椭圆、双曲线、抛物线之间特定的联系和区别，不仅可以将有关圆锥曲线的问题设计得形式优美，还可以由点及面推广到圆锥曲线的一般形式，通过合理的运算，进而得到完整的结论．

离心率；斜率；一般化

2016年浙江省高中数学竞赛中有这样一道试题：

1)求椭圆的标准方程；

2)若k1+k2=0,求实数k.

1　赛题的评价与阅卷体会

赛题入口平宽，表述简洁，表面上朴实无华，但仔细思考就会发现赛题形式优美，内涵丰富，堪称是一道不可多得的好题．阅卷中笔者发现：学生均能动手作答，但求解完整者较少．究其原因是学生运算能力有待提高，特别是运算的合理性，教学中要强调和重视．为了进一步说明问题，特摘录经笔者整理的2种解法，让我们一窥其中的门道．

解法11)由已知得

又

即

16a2=25b2,

解得

a2=25,b2=16,

2)由题意知右焦点为(3,0),①当斜率k不存在时，斜率k1,k2均不存在，不合题意.

(16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

(注：此处能继续往下算的学生很少．)

由y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)，得

2)①当k=0时，

(16t2+25)y2+96ty-256=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

即

得

点评事实上，解法1中的分母是(x1-3)(x2-3),解法2中的分母是y1y2,显然选择直线方程x=ty+3更加合理．关于直线方程形式的合理选择，请参阅文献[1].

2　赛题的一般化与推广

受到试题一般……