朱旭生，赵康鑫，傅春燕，王　莉

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)



带非线性阻尼项n维欧拉方程组经典解的爆破

朱旭生，赵康鑫，傅春燕，王莉

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)

研究了n维空间带非线性阻尼项的等熵欧拉方程组初值问题经典解的爆破。当初值条件有紧支集时，利用泛函方法，证明了如果非线性阻尼系数有界时，其初值问题的经典解必定会在有限时间内爆破。

非线性阻尼；欧拉方程组；泛函方法；经典解；爆破

0　引言

本文主要考虑如下n维等熵可压缩欧拉方程组的初值问题：

(1)

对应的初始条件为：

(2)

对于欧拉方程组经典解的研究有很多，主要集中在一维或三维空间中欧拉方程组整体解存在[1-4]以及经典解的爆破[5-11]方面。文献[1-3]分析了带线性阻尼项的等熵欧拉方程组，当初始数据是常状态附近的小扰动时，利用能量估计法，证明了经典解的整体存在。文献[5,7-8]研究了不带阻尼项的可压缩欧拉方程组经典解的爆破。而对于带非线性阻尼项的欧拉方程组的研究[4,6]却很少。本文在文献[6]的基础上，将一维空间中的阻尼系数(α+f(u))推广到n维空间的一般非线性函数α(ρ,u)。结合文献[5]的方法，分别在m(0)≥0和m(0)<0这两种条件下，通过构造适当的泛函，得到了当初始数据较大时，经典解不会整体存在的结论。

1　预备知识

定义

(3)

引理1[1]设(ρ,u)是初值问题(1)和初始条件(2)在Rn×[0,T)的C1解，则：

(4)

引理2[5]设(ρ,u)是初值问题(1)和初始条件(2)在Rn×[0,T)的C1解，则对所有的0≤t

m(t)=m(0)。

(5)

2　主要结论

定义：

F1(t)=∫Rnx·ρudx=∫B(t)x·ρudx；

(6)

(7)

当m(0)≥0时，若F1(0)足够大，可以证明初值问题(1)和初始条件(2)的经典解会爆破。

证明由于

F1(t)=∫Rnx·ρudx=∫B(t)x·ρudx，

所以

再由初值问题(1)，通过分部积分得到：

(8)

其中：

可以采用Hölder不等……