孔德清

（肇庆学院 电子信息与机电工程学院，广东 肇庆　526061）

修正的亥姆霍兹方程的一种解析解法

孔德清

（肇庆学院 电子信息与机电工程学院，广东 肇庆526061）

讨论了用于描述波的弥散、扩散等物理现象的修正的亥姆霍兹方程方程的一类边值问题，借助Fokas变换方法，给出了该问题的解析解.

亥姆霍兹方程；Dirichlet边值问题；解析解

0　引言

波是一种常见的物理现象，例如声波、水波、电磁波等.波在传播过程中遇到障碍物时会产生反射、折射和散射等现象.波的这种特性引发了人们的研究兴趣和极大关注，目前，已被广泛应用于海底探测、医学诊断、声纳和雷达等领域.研究者通常利用数学方程描述波传播的各种现象.最著名的方程是1747年由法国著名物理学家、数学家和天文学家达朗贝尔发现的波动方程［1］.任何一种特定形式波的传播均可由数学方程及一定的辅助条件进行刻画，因此，对于波的各种现象和性态的研究，可转化为对与其相关的各种数学方程的探讨.

1　问题的数学模型

修正的亥姆霍兹方程（modified Helmholtz equation）又称为Yukawa方程［2］，通常出现在半隐式时间离散的热方程中，也用来描述波的弥散、扩散问题等物理现象［3］.多年来，国内外许多研究者都对此方程进行过研究，然而，他们大多采用数值方法进行讨论，很少有求得解析解的报道.本文中，笔者在文献［4］基础上采用Fokas变换的方法，讨论一类平面角形域Ω上修正的亥姆霍兹方程Dirichlet边值问题的解析解，其数学模型如下：

2　主要结论

为了求解问题（1），首先介绍一个基于Fokas变换的引理.

引理1［5］设Ω为复Z-平面上第1象限所围成的平面区域，假定在Ω内modified Helmholtz方程存在解，在Ω的边界上充分光滑，则有如下积分表达式：

其中：谱函数ρ1（k）和ρ2（k）分别定义为

而射线lj（j=1，2）分别表示谱K-平面的正虚轴和正实轴.此外，以下全局关系成立：

事实上，引理1中得到的解的积分表达式（2）是利用谱函数ρj（k）表示的.对于具体问题的定解问题，从式（3）和（4）可以看出，谱函数ρj（k）包含了已知和未知的边界值，因此，表达式（2）只能算是一种解的形式积分表达式.Fokas变换的思想是利用全局关系（5）提供的边值变换信息，借助一些对称关系和复变函数的Cauchy积分定理等，消除积分表达式中的未知量或者求出这些未知量，从而得到定解问题解的封闭积分表达式.

对于问题（1），利用Fokas变换思想可以得到如下定理.

其中：有向射线l1:arg k=π/2；l2:arg k=0，而

证引入辅助函数

此时，引理1中的ρj（k）（j=1，2）可表示为

容易看出，函数G1（k），D1（k）和G2（k），D2（k）分别为左半K-平面和下半K-平面的解析函数，并且有如下对称关系：

由全局关系（5），可得

式（15）取复共轭，并考虑到对称关系，得

即有

由式（15）和（16）可得

令k↦-k，经整理可得

因此，由式（6）并考虑到式（17）和（19），可得

容易看出，利用复变函数的Cauchy积分定理，H等于零.进一步将R中l2上含D2（-k）的项变形成l1上的积分，整理后即得式（6），至此，定理1得证.

［1］谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程［M］.北京：高等教育出版社，2012：2-46.

［2］CHENG H W，HUANG J F，LEITERMAN T J.An adaptive fast solver for the modified Helmholtz equation in two dimensions ［J］.J Comput Phys，2006，211：616-637.

［3］ BEN-AVRAHAM，FOKAS A S，The solution of the modified Helmholtz equation in a wedge and an application to diffusionlimited coalescence［J］.Phys LettA，1999，263：355-359.

［4］黄民海.四分之一平面域上Helmholtz方程的混合边值问题［J］.中山大学学报（自然科学版），2011，50（5）：7-10.

［5］FOKASAS.Aunified approach to boundary value problems［M］.Philadelphia：SIAM，2008：125-184.

An Analytical Solving Method of the Modified Helmholtz Equation

KONG Deqing
（College of Electronic Information and Mechatronic Engineering，Zhaoqing University，Zhaoqing，Guangdong 526061，China）

ractA class of boundary value problems for the modified Helmholtz equation which is used to describe the physical phenomena such as dispersion，diffusion，etc.is discussed，and the analytical solution of the problem is given by means of Fokas transform.

ordsmodified Helmholtz equation；Dirichlet boundary-value problem；analytic solution

O175.2；O175.8

A

1009-8445（2016）02-0001-03

（责任编辑：陈静）

2015-10-09

孔德清（1963-），男，山东曲阜人，肇庆学院电子信息与机电工程学院副教授，硕士.