孔德清

（肇庆学院 电子信息与机电工程学院，广东 肇庆　526061）

修正的亥姆霍兹方程的一种解析解法

孔德清

（肇庆学院 电子信息与机电工程学院，广东 肇庆526061）

讨论了用于描述波的弥散、扩散等物理现象的修正的亥姆霍兹方程方程的一类边值问题，借助Fokas变换方法，给出了该问题的解析解.

亥姆霍兹方程；Dirichlet边值问题；解析解

0　引言

波是一种常见的物理现象，例如声波、水波、电磁波等.波在传播过程中遇到障碍物时会产生反射、折射和散射等现象.波的这种特性引发了人们的研究兴趣和极大关注，目前，已被广泛应用于海底探测、医学诊断、声纳和雷达等领域.研究者通常利用数学方程描述波传播的各种现象.最著名的方程是1747年由法国著名物理学家、数学家和天文学家达朗贝尔发现的波动方程［1］.任何一种特定形式波的传播均可由数学方程及一定的辅助条件进行刻画，因此，对于波的各种现象和性态的研究，可转化为对与其相关的各种数学方程的探讨.

1　问题的数学模型

修正的亥姆霍兹方程（modified Helmholtz equation）又称为Yukawa方程［2］，通常出现在半隐式时间离散的热方程中，也用来描述波的弥散、扩散问题等物理现象［3］.多年来，国内外许多研究者都对此方程进行过研究，然而，他们大多采用数值方法进行讨论，很少有求得解析解的报道.本文中，笔者在文献［4］基础上采用Fokas变换的方法，讨论一类平面角形域Ω上修正的亥姆霍兹方程Dirichlet边值问题的解析解，其数学模型如下……