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灵活选用二次函数表达式

2021-01-07

初中生世界 2020年47期
关键词:对称轴表达式交点

文 刘 丹

二次函数是中考的热点内容,其中用待定系数法确定二次函数的表达式也是我们必须掌握的方法。我们在求二次函数的表达式时,应根据题目给出的条件,灵活地选用不同的方法。

用待定系数法确定二次函数表达式的步骤:1.根据题目条件设出合适的函数表达式;2.把已知条件代入函数表达式;3.解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数表达式。下面举例说明,希望对同学们有帮助。

(下文中提到的a、b、c、h、k、x1、x2均为常数,a≠0)

一、利用y=ax2求二次函数表达式

当抛物线的顶点在原点时,通常选用y=ax2设表达式。

例1已知抛物线的顶点在原点,且点A(2,8)在抛物线上,求该抛物线的函数表达式。

解:设函数表达式为y=ax2,把A(2,8)代入,解得a=2,所以抛物线的表达式为y=2x2。

【总结】因为抛物线的顶点在原点,所以设抛物线的表达式为y=ax2,然后将已知的点坐标代入表达式即可求出a的值。

二、利用y=ax2+k求二次函数表达式

已知抛物线的顶点在y 轴上或是以y 轴为对称轴时,可设函数表达式为y=ax2+k。

例2已知:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为y轴,且过点A(0,-3)、B(2,0),求该抛物线的表达式。

解:由题可设抛物线的表达式为y=ax2-3,将B(2,0)代入表达式,得4a-3=0,可得a=则抛物线的表达式为

【总结】由于抛物线的对称轴为y 轴,且过点A(0,-3),所以抛物线的顶点坐标为(0,-3),于是设抛物线的表达式为y=ax2-3,然后将B(2,0)代入求解即可。

三、利用y=a(x-h)2求二次函数表达式

如果二次函数的图像顶点在x 轴上或最大(小)值为零时,可设它的表达式为y=a(xh)2,其顶点坐标为(h,0)。

例3如图1,已知二次函数图像顶点在x轴上,对称轴为直线x=-2,且A(1,3)在函数图像上,求它的表达式。

解:由题可设抛物线的表达式为y=a(x+2)2,将A(1,3)代入,得a(1+2)2=3,解得所以抛物线的表达式为

【总结】因为抛物线图像顶点在x 轴上,对称轴为x=-2,所以顶点坐标为(-2,0),由此可设抛物线的表达式为y=a(x+2)2,然后将点A(1,3)代入即可求出表达式。

四、利用y=a(x-h)2+k求二次函数表达式

已知抛物线图像的顶点坐标为(h,k),一般可设抛物线表达式为y=a(x-h)2+k,然后根据其他条件确定a 的值。已知抛物线的对称轴,即顶点的横坐标;或已知抛物线的最大(小)值,即抛物线的最高(低)点的纵坐标,也可用此形式求二次函数的表达式。

例4已知二次函数图像对称轴为直线x=-1,且最大值为-3,同时图像与y 轴的交点坐标为(0,-5),求该函数的表达式。

解:由题可设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-3,将(0,-5)代入得a=-2,从而得抛物线的表达式为y=-2(x+1)2-3,即y=-2x2-4x-5。

【总结】若已知条件是图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,可设抛物线表达式为y=a(x-h)2+k,再将已知条件代入,求出待定的系数。

五、利用y=a(x-x1)(x-x2)求二次函数表达式

已知抛物线与x 轴的交点的横坐标时,通常设表达式为交点式,即y=a(x-x1)(x-x2)。

例5如图2,在直角坐标系中,点A、B、C三点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,3)。

(1)求过A、B、C三点的抛物线表达式;

(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标。

解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3),将(0,3)代入得3=a(0+1)(0-3),解得a=-1,∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4)。

【总结】当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标,且知道图像上的另一个坐标时,通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求这个二次函数表达式。

六、利用y=ax2+bx+c求二次函数表达式

当已知二次函数图像上任意三点时,可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后将三点坐标分别代入求出待定系数。一般来说,此方法计算比较繁琐,只有当三点坐标不符合以上几种情况时才使用。

例6已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:

x y……-1 0 0 1 2 3-5-8-9-8……

求此二次函数表达式。

解:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,

∴二次函数表达式为y=x2-4x-5。

【总结】实际上根据表中的情况,我们还可以利用“顶点式”或“交点式”求解。有兴趣的同学可以尝试一下。

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