杨春艳，李小青

（西北大学数学系，陕西 西安　710127）

一类四阶偏微分方程的对称分析及级数解

杨春艳，李小青

（西北大学数学系，陕西 西安710127）

研究了一类四阶偏微分方程的李对称，构造了方程所容许的李对称的优化系统，进行了对称约化，得到了精确解.进一步，基于幂级数理论，得到了这类四阶偏微分方程的幂级数解.

四阶偏微分方程；李对称；优化系统；幂级数法；精确解

1　引言

四阶偏微分方程在自然科学领域有着广泛的应用背景，它起源于应用数学和物理学的不同方面，尤其在弹性梁及稳定性理论中具有广泛的应用[1].研究非线性偏微分方程的方法有很多[2-4]，而用Lie对称群理论来构造微分方程的解是非线性微分方程研究中活跃的领域之一[5-9].本文研究这一类四阶微分方程：

的对称约化和精确解的构造问题，其中：α/=0，β/=0是常数，

这里我们首先对方程(1)进行对称群分析，应用优化系统理论，由方程(1)所容许的李点对称构造其对应的优化系统；再对方程进行对称约化，推出相应于优化系统中各个对称的约化常微分方程；最后，用幂级数法对约化的常微分方程求解，得到方程(1)的幂级数解.

2　方程 (1)的李对称群分析

本节利用经典李群方法研究方程(1)，考虑如下单参数李变换群：

其中，ε是参数，τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u)是光滑函数.李变换群(2)的无穷小生成元为：

此时，我们需要确定向量场的系数函数τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u).显然，V必须满足无穷小不变准则：

其中∆=ut+αu2ux+βuxxxx.由李对称理论知，向量场（3）的四阶延拓为

其中

结……