李华，马飞遥

（宁波大学理学院，浙江 宁波　315211）

含梯度项的椭圆方程组的边界爆破解

李华，马飞遥

（宁波大学理学院，浙江 宁波315211）

研究了含梯度项的椭圆方程组的边界爆破解的性质，其中权函数a(x)，b(x)为正并且满足一定的条件.利用上下解的方法及比较原则证明了正解的存在性与唯一性，并得到了边界爆破速率的估计.

椭圆方程组；梯度项；边界爆破

1　引言

主要考虑如下的含有梯度项的椭圆方程组：

其中 λ，t＞0，p，s＞1，q，r＜0，(p-1)(s-1)-qr＞0，Ω∈RN为一个有界光滑的C2区域.a，b∈Cη是非负权函数，η∈(0，1).边界条件u=+∞，v=+∞，x∈∂Ω，表示当d(x)→0+时，u(x)→∞，v(x)→∞，其中d(x)=dist(x，∂Ω).

当λ=t=0时，方程组变为

此方程组已在文献［1-3］中被广泛研究.其中Meli´an在文献［1］中研究了a(x)=b(x)=1这种特殊情况下，方程组在三种不同的Dirichlet边界条件：(F)u=λ，v=µ，(I)u=v=+∞与 (SF)u=+∞，v=µ下，在 ∂Ω上解的定性性质.在文献 ［1］中又进一步的考虑了带权函数的方程组 (1.2)，给出了当 d(x)→ 0时，在条件 a(x)∼C1d(x)γ1，b(x)∼C2d(x)γ2，C1，C2＞0，γ1，γ2＞-2下解的存在性与不存在性，唯一性及边界性行为的结果.文献［2］Meli´an对系统(1.2)又进行了研究给出了不同于文献［1］的唯一性的证明.

文献［4-5］对拟线性的椭圆系统的边界爆破解进行研究，得到了解的存在性，唯一性及边界爆破行为.

对于单个的含梯度项的椭圆方程 ∆u±λ|∇u|q=b(x)g(u)，x∈Ω；u=+∞，x∈∂Ω. C.Bandle 1996年在文献 ［6］中对 λ=1的形式进行了详细研究.文献 ［7］张志军应用了Karamata正规变换理论，得到了方程解的唯一性与爆破行为.含梯度项的椭圆方程更深入的研究参见文献［8-10］.

本文考虑的是含梯度项的椭圆方程组，首先定理2.1改变了文献［7］定理1.1的条件，应用文献［7］中同样的技巧Karamata正规变换理论与比较原则，得到了单个方程爆破解……