张爱仙，冯克勤

（1.西安理工大学数学系，陕西 西安　710048；2.清华大学数学系，北京　100084）

利用有限域GF(2m)上的三项式构造二元循环码

张爱仙1，冯克勤2

（1.西安理工大学数学系，陕西 西安710048；2.清华大学数学系，北京100084）

循环码是一类特殊的线性码，由于循环码快速的编码和译码算法，它被广泛应用于消费电子，数据存储以及通信系统当中.在本文中，利用特征是偶数的有限域上的三项式构造出了两类二元循环码，我们不仅可以确定出这两类循环码最小距离的下界，而且这两类循环码在参数的选取上非常的灵活.关键词：循环码；三项式；序列；有限域

1　引言

设 q是素数 p的幂.向量空间 GF(q)n的一个线性子空间叫作 q元线性码.若此子空间是GF(q)n的k-维子空间且极小汉明重量是d，则称此空间为参数［n，k，d］的q元线性码.码长为 n的 q元线性码 C叫作循环码，是指若 (c0，c1，...，cn-1)∈C，则它的循环移位(cn-1，c0，c1，...，cn-2)∈C.

把向量(c0，c1，...，cn-1)∈GF(q)n等同于多项式

则 GF(q)上码长为 n的循环码 C对应于 GF(q)［x］/(xn-1)中的子集.如果C是循环码当且仅当C在GF(q)［x］/(xn-1)中对应的子集是商环 GF(q)［x］/(xn-1)的一个理想.熟知GF(q)［x］/(xn-1)中每个理想都是主理想.设C=(g(x))，则称g(x)是循环码C的生成多项式，h(x)=(xn-1)/g(x)是循环码C的校验多项式.关于有限域与纠错码的基础知识读者可参见［1-3］.

设s∞=(si)∞i=0是GF(q)上周期为n的序列，

设Cs是以如下多项式

为生成多项式的循环码.

那么一个自然的问题是：用此方法能否构造出性能最优的循环码？事实表明，只要选取合适的序列s∞，用此方法可以构造出最优或几乎最优的循环码，见文献［4-5］.

设m是正整数，n=2m-1，α是GF(2m)∗的生成元.f(x)是GF(2m)上的多项……