吕小敏，魏公明

（上海理工大学理学院，上海　200093）

各项异性椭圆方程基本解的存在性

吕小敏，魏公明

（上海理工大学理学院，上海200093）

证明了右端可测的各项异性椭圆方程基本解的存在性，其中应用了各项异性Sobolev空间和Lebesgue空间.首先得到近似方程的解，然后通过对这些解的子列取极限，得到原方程的解.关键是要有一个近似函数空间以及近似方程的先验估计.最后运用Vitali定理证明了原方程基本解的存在性，推广和改进了已有方程.

各项异性方程；弱解；格林函数；Vitali定理；基本解

1　引言

近年来各项异性椭圆方程得到极大的关注.以时间版本的方程构成的数学模型用来描述传染病等传播疾病，参见文献［1-2］.类似的模型也出现在流体动力学中，介质在不同的方向有不同的传导率，参见文献［3-4］.

本文是受文献［5-6］的启发.在文献［5］中作者研究了如下问题：

其中

是→p-拉普拉斯算子，δ0是狄拉克测度，当Ω⊂Rn且n≥2；0∈Ω时δ0=0.设

p是p1，...，pn的调和平均数，即

文献［5］证明了基本解的存在性.自然会想到一个问题：是否可以用这种方法解如下→p-→q各项异性椭圆方程呢，

其中

问题(1)的困难之处在于当pi，qi不相等时，其基本解没有明显的一个公式.

文献［6］研究了如下各项异性非线性椭圆系统：

其中方程右端µ=(µ1，...，µm)⊤是一个给定的向量，值为有限集Ω上的Radon测度.

受以上两篇文章的启发，在(3)式中取

本文考虑如下各项异性椭圆方程系统：

假设：

(i)→p：=(p1，...，pn)；→q：=(q1，...，qn)；qi＜pi；1＜p1≤p2≤...≤pn＜∝；

(ii)p是p1，...，pn的调和函数，即并且p＜n；

q是q1，...，qn的调和函数，即

(iii)

(iv)是文献 ［6］中的注 3.1.受参考文献 ［7-9］)的启发本文证明了问题 (4)的基本解的存在性.首先得到近似方程的解，然后通过对这些解的子列以及解的偏导数取极限，得到在弱 Lebesgue空间的先验估计，然后得出原方程的解.用各项异性 Sobolev不等式证明弱Lebesgue空间估计[10].用Vitali定理通过近似方程的弱解得到问题(2)的非负弱解.

存在性结果的方法，在很大程度上得益于Dolzmann，Hungerb¨uhler和M¨uller解各项同性p-调和系统[11]： .

论文的计划如下：第二节，定义了各项异性Sobolev空间，Sobolev不等式和弱Lebesgue空间以及给出本文要证明的几个定理.第三节，近似方程的解.第四节，弱Lebesgue空间中的先验估计.第五节，用Vitali证明原方程基本解的存在性.

2　预备知识和主要结论

本节介绍合适的各项异性空间和弱Lebesgue空间.

2.1各项异性 Sobolev空间

设u是Ω上的一个实值函数.→p：=(p1，...，pn)；n是一个实数.p是p1，...，pn的调和平均数，

即

称满足的所有函数u组成的空间为各项异性Sobolev空间，记作W.该空间是一个Banach空间有如下范数：

由Troisi(见文献［10］定理1.2)得出如下的各项异性Sobolev不等式：

定理2.1.1设

存在一个常数

使得

2.2弱 Lebesgue空间

u：Ω→R是一个可测函数；λu是u的分布函数定义如下：

分布函数γ→λu(γ)是一个减函数.对0＜r＜∞，弱Lebesgue空间Mr(Ω)定义如下：

空间Mr(Ω)是一个Banach空间其范数为：

注 2.2.1弱M∞(Ω)空间由通常的L∞(Ω)空间定义.因此假设本节0＜r＜∞.Lr(Ω)空间是所有在Ω上可测的使|u|r可积的实值函数.该空间函数u∈Lr(Ω)的范数为：

对任意的0＜r0＜r＜∞和Ω有界.则有Lr(Ω)⊆Mr(Ω)⊆Lr0(Ω).即对任意的u∈Lr(Ω)，有第二个不等号证明如下：

即

第一个不等号证明如下：对任意的u∈Mr(Ω)，由H¨older不等式得出：

所以有∥u∥Lr0(Ω)≤∥u∥Mr(Ω).本论文将多次使用(6)式中的不等式.详细见文献［12］.

2.3截断函数

对任意的γ＞0.定义截断函数Tγu：Ω→R，

1E表示可测集E⊂Rn上的特征函数.

2.4主要结论定义2.4.1对各项异性椭圆方程(4)，如果

即-∆→pu-∆→qu=δ0，则称u：Ω→R是(4)的弱解也是-∆→pu-∆→qu=0的基本解.

注 2.4.1由稠密性知对任意的φ∈W1，→p0(Ω)，(8)式仍成立.

定理 2.4.1在假设(i)(ii)(iii)的条件下，(4)式存在非负的基本解Φ∈W1，→p0(Ω).

3　近似方程的解

本小节将证明近似方程弱解的存在性.

其中

引理 3.1对任意的ε∈(0，ε0］固定.其中ε0∈(0，1).则(9)式存在非负弱解

使得

证明定义

下面证明〈Aεu，φ〉=Bεφ.

强制性：

半连续性：算子Aε的增长性条件意味着Aε的半连续形.即，映射h→〈Aε(u+hv)，w〉，∀u，v，w∈W(Ωε)，在实轴上是连续的.

然后，运用单调算子定理 (见文献 ［13］)，Aε是一个双射算子.所以 Aε的满射证明了Φε∈W(Ωε)的存在性，使得AεΦε=Bε也证明了存在函数列(Φε)0＜ε≤ε0⊂W(Ωε)其中每个函数都满足(10)式.此外，由文献Fuso-Sbordone[14]得到Φε∈L(Ωε).

下面给出用反证法证明Φε≥0 a.e.x∈Ωε.其中a.e.表示几乎处处.记Nε：={x∈Ωε：Φε＜0}如果meas(Nε)/=0，取Φε1Nε为(10)式的测试函数，得：

即Φε=0 a.e.x∈Nε.这与当x∈Nε；Φε＜0矛盾.那么Φε≥0a.e.x∈Ωε.从而，引理3.1得证.

4　弱Lebesgue空间中的重要估计

本小节给出在弱Lebesgue空间中的重要估计.

引理 4.1对每一个γ＞0，ε∈(0，ε0］任意.(9)式的解Φε满足

证明取TγΦε=min{Φε，γ}∈W1，→p0(Ωε)为(10)式的测试函数，得

(11)式得证.

证明证明的方法与文献［9］类似，记p∗=np/(n-p)，p＜n，由

定理2.1.1和注2.1.2.存在常数c(n，→p)使得

即

为了得到∥Φε∥Mp∗-1(Ωε)≤C，取γ的指数为零.

∥Φε∥Mp∗-1(Ωε)≤C 得证.

下面给出

所以有

也有

证明由(i)，(ii)，(iii)，知W01，→p(Ω)⊂W01，→q(Ω)，与引理3.2的证明类似. 记q∗=nq/(n-q)和q＜p＜n，由

定理2.1.1和注2.1.2.存在一个常数c(n，→q)使得

即

为了证出∥Φε∥Mq∗-1(Ωε)≤C，取γ的指数为零.因此有

即

∥Φε∥Mq∗-1(Ωε)≤C 得证.

下面证明

在引理4.1的(11)式中取γ=γq

q∗i，得

所以有

即

得证.

注4.1由(13)式和(14)式，知

引理 4.4取(0，ε0］中的子列(εk)k∈N，使得当k→∞时εk→0.E为Ω中的任意紧子集.对每一个k∈N，设ε0＞0值很小使得E∈Ωεk.取满足引理3.1的Φεk.定义在RnΩεk上有Φεk=0.

则对每个i=1，2，...，n，存在可测函数Φ：Ω→R使得，对于子列有当k→∞时.

证明首先证明Φεk的子列(Φεk)k是一个Cauchy序列而且在E上依测度收敛.取(0，∞)上的任意值µ，ρ和γ固定

下证(17)式的第一部分

由TγΦε=min{Φε，γ}∈W(Ωε)⊂W(Ωε)，∂iTγΦεk=1{Φεk}∂iΦεk，a.e.x∈Ω.

对任意的R＞0固定，(TγΦεk)k在W(BR(0))中一致有界，由于紧嵌入存在子列 TγΦεk在 Lr(BR(0))中收敛.由 (TγΦεk)k在 L(Rn)，1≤ r＜ ∞ 中一致有界，以及L1(BR(0))和 L∞(BR(0))的插值.得到存在子列(TγΦεk)k对任意的 1≤r＜∞在Lr(BR(0))中收敛.又R＞0任意，得出：(TγΦεk)k在L(Rn)中收敛，1≤r＜∞.所以(TγΦεk)k是一个在E上依测度收敛的Cauchy序列.因此，(18)式成立.

(17)式中，由注4.4和式(18)式，我们知(Φεk)k是一个在E上依测度收敛的Cauchy序列.因此，有子列(Φεk)k在E上依测度收敛到可测函数Φ：E→R.由Riesz定理，得到依然用Φεk表示的子列，使得Φεk→Φ几乎处处在E中.

同样，证明 ∂iΦεk的子列 (∂iΦεk)k是一个在 E上依测度收敛的 Cauchy列.µ，ρ和 γ 为(0，∞)上任意固定的值.

当γ→∞，由注4.4和(17)式，

下证当γ→∞

在引理3.1的(10)式中取截断函数T1/γ(Φεk′-Φεk)，得

而且，对任意的s，t∈(-γ，γ)存在与γ无关的常数C，使得

由(22)式和(23)式，i=1，2，...，n.有

所以(20)式得证.

此外，由 (19)和 (20)式，∂iΦεk的子列 (∂iΦεk)k是一个在 E上依测度收敛的 Cauchy 列.而且，对于子列(∂iΦεk)k在E上依测度收敛到一个可测函数Ψi：E→R.i=1，2，...，n. 由Riesz定理，得存在子列依然用εk表示，使得当k→∞时，

下面证明Ψi=∂iΦ，i=1，2，...，n.γ＞0和R＞0为任意固定的值. 由(11)式得

(∂iTγΦεk)k在Lpi(Rn)中一致收敛，所以，存在子列

对任意的 1≤r＜∞ 由 (TγΦεk)k在 L(Rn)中收敛，以及 Φεk→Φ几乎处处在 E中收敛，当k→∞，有

取r=p1由紧嵌入W1，p10(BR(0))→→Lp1(BR(0)).得TγΦ∈W1，p1(BR(0)).由(25)式存在子列使得：

因此得出Ψi，γ=∂iTγΦ，存在子列有，

由(27)式和(24)式得出 ∂iTγΦεk=1{Φεk＜γ}∂iΦεk→1｛Φ＜γ｝Ψi，a.e.x∈Ω.再由(26)式推出对每一个R＞0有 ∂iTγΦ=1｛Φ＜γ｝Ψi，a.e.在Ω∩BR(0)中.因此∂iΦ=Ψi，a.e.x在Ω上i=1，2，...，n.引理4.5得证.

5　Vitali收敛定理:定理 2.4.1的证明

在证明定理2.4.3之前，先给出Vitali定理.

Vitali定理fn是Lp(Ω)空间中的函数列，f是Lp(Ω)空间中的一个函数.设

(1)fn→f a.e.x∈Ω；

则有在Lp(Ω)中fn→f.

证明见文献［15］

定理 2.4.1的证明记r0=pi-1，r=pi(p∗-1)/p∗，其中p∗满足引理4.2.由(6)式，对k∈N γ＞0，有

化简为

由引理4.3，得

又由qi＜pi得

需要证明当Ωεk→Ω，εk→0，k→∞时，

即∀k，(εk)k∈N∈(0，ε0］，当εk→0，k→∞.，需要给出

(28)式的右端，当εk→0，k→∞.

E⊂Ωεk，∀k，E⊂Ω为有界闭集.应用Vitali定理，取fn=∂iΦεk和f=∂iΦ，i=1，2，...，n.

∫E|∂iΦεk|pi-1dx和∫E|∂iΦεk|qi-1dx关于k一致收敛到零.于是得，

又得

存在子列依然用εk表示，有当k→∞时

由(29)式和(30)式，得

因此，Φ是原方程(4)的基本解.

[1］Bendahmane M，Karlsen K H.Renormalized solutions of an anisotropic reaction-diffusion-advection system with L1data[J］.Comm.Pure Appl.Anal.，2006，5：733-762.

[2］Bendahmane M，Langlais M，Saad M.On some anisotropic reaction-diffusion systems with L1-data modeling the propagation of an epidemic disease[J］.Nonlinear Anal.，2003，54：617-636.

[3］Antontsev S N，D´1az J I，Shmarev S.Energy Methods for Free Boundary Problems.Applications to Nonlinear PDEs and Fluid Mechanics：Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications[M］.Boston：Birkhauser，2002.

[4］Antontsev S，Shmarev S.Elliptic equations and systems with nonstandard growth conditions：Existence，uniqueness and localization properties of solutions[J］.Nonlinear Anal.，2006，65：728-761.

[5］Florica C，Cˆirstea，J´erˆomeVtois.Fundamental solutions for anisotropic elliptic equations：existence and a priori estimates[J］.Communications in Partial Differential Equations，2015，40：4，727-765.

[6］Bendahmane M，Karlsen K H.Anisotropic nonlinear elliptic systems with measure data and anisotropic harmonic maps into spheres[J］.Electron.J.Diff.Eqs.，2006，46：30pp.

[7］B´enilan P，Boccardo L，Gallou´et T，et al.An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations[J］.Ann.Sc.Norm.Super.Pisa Cl.Sci.，1995，（4）22：241-273.

[8］Boccardo L，Gallou¨et T.Nonlinear elliptic and parabolic equations involving measure data[J］.J.Funct. Anal.，1989，87：149-169.

[9］Boccardo L，Gallou¨et T.Nonlinear elliptic equations with right-hand side measures[J］.Comm.Part.Diff. Eqs.，1992，17：641-655.

[10］Troisi M.Theoremi di inclusione per spazi di Sobolev non isotropi[Inclusion theorems for non-isotropic Sobolev spaces］[J］.Ricerche.Mat.，1969，18：3-24.

[11］Dolzmann G，Hungerbu¨uhler N，Mu¨uller S.Uniqueness and maximal regularity for nonlinear elliptic systems of n-Laplace type with measure valued right hand side[J］.J.Reine Angew.Math.，2000，520：1-35.

[12］Grafakos L.Graduate Texts in Mathematics：Classical Fourier Analysis[M］.New York：Springer-Verlag，2008

[13］Lions J L.Quelques M´ethodes de R´esolution des Probl´emes aux Limites Non Lin´eaires[M］.Paris：Gauthier-Villars，1969.

[14］Fusco N，Sbordone C.Some remarks on the regularity of minima of anisotropic integrals[J］.Comm.Part. Diff.Eqs.，1993，18：153-167.

[15］Lucio Boccardo，Gisella Croce.Elliptic Partical Differential Equations：Existence and Regularity of Distributional Solutions[M］.Berlin：Walter de Gruvter GmbH，2014.

2010 MSC：35b20

The existence of fundamental solution for anisotropic elliptic equation

Lu¨ Xiaomin，Wei Gongming
（College of Sciences，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China）

This paper proves the existence of fundamental solution for anisotropic equation-Δ⃗pu-Δ⃗qu=δ0with measure valued right hand-side.Anisotropic Sobolev space and weak Lebesgue space are involved in the functional setting.First，we get the solutions of approximate equations.Then by taking limit of the sequence of these solutions，we get the solution of the original equation.The point is to have a approximate function space and do a priori estimate for the approximate equations.Final，the Vitali’s theorem is applied for the existence of fundamental solution for anisotropic equation-Δ⃗pu-Δ⃗qu=δ0.Extend and improve the existing equation-Δ⃗pu=δ0.

anisotropic equations，weak solution，Green’s function，Vitali’s convergence theorem，fundamental solution

O178

A

1008-5513(2016)04-0362-18

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.005

2016-05-19.

沪江基金(B14005).

吕小敏(1990-)，硕士生，研究方向：偏微分方程.