王昭海，吴洪博

( 1.安康学院 数学与统计学院，陕西 安康　725000;2.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安　710062)



偏序集上的Fuzzy蕴涵代数及其性质

王昭海1，吴洪博2

( 1.安康学院 数学与统计学院，陕西 安康725000;2.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安710062)

给出了偏序集上的Fuzzy蕴涵代数的概念，讨论了它的性质，并证明它在满足一定条件下可构成MV代数，也可构成FuzzyR0代数。

偏序集；蕴涵代数；性质

在偏序集上的蕴涵代数的基础上，给出了Fuzzy蕴涵代数的概念，研究了它的性质。说明了它在条件(x→y)→y=(y→x)→x成立时，也构成FuzzyR0代数。

1　Fuzzy蕴涵代数

定义1设X是一个非空集合，≤为X上的一个偏序关系，其中0，1分别为X中的最小元和最大元，→是定义于X上的二元运算，使得(X,→，0)成为一个(2，0)型代数，如果对于任意x,y,z∈X,二元运算→对于偏序关系≤满足

①x→(y→z)=y→(x→z)，

②x≤y当且仅当x→y=1，

则称(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，简称为Fuzzy蕴涵代数。

性质1设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，则对于任意x,y∈X,下面性质成立：

(P1) 0→x=1；

(P2)x→1=1；

(P3)x→x=1；

(P4) 若1→x=1，则x=1；

(P5) 若x→y=y→x=1，则x=y；

(P6) 1→x=x；

(P7) 若x→0=1，则x=0；

(P8)x≤(x→y)→y；

(P9)y≤(x→y)→y；

(P10)x≤(x→y)→x；

(P11)x→y≤((x→y) →y) →y；

(P12)x→(y→0)=y→(x→0)；

(P13)x≤y→z当且仅当y≤x→z；

(P14)x→(y→x)=1。

定义2[1]设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，在满足条件(x→y)→((y→z)→(x→z))=1,称(X,→，0)为蕴涵代数。

性质2设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蕴涵代数，则(X,→，0)是Fuzzy蕴涵代数。

引理1[1]设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蕴涵代数，则对于任意x,y,z∈X，

① 若x≤y,则y→z≤x→z,z→x≤z→y；

② ((x→y) →y) →y=x→y

定义3设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，在X上定义一个一元运算﹁，使得对于任意x∈X,﹁x=x→0,则称﹁为补算子，如果﹁还满足﹁﹁x=x，则称(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正则Fuzzy蕴涵代数。

引理2设(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蕴涵代数，则

① (X,→，0)是正则的，当且仅当对于任意x，y∈X，x→y′=y→x′。

② (X,→，0)是正则的，当且仅当对于任意x，y∈X，x→y=y′→x′。

③ 若(X，≤)构成格，∨，∧分别为其上确界和下确界，则

(i)x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),

(ii) De Morgan对偶律成立，即(x∨y)′=x′∧y′,(x∧y)′=x′∨y′。

证明①，②显然成立。……