张如川，杜　纲

(天津大学 管理与经济学部，天津　300072)



面向产品族优化设计的交互式模糊算法

张如川，杜纲

(天津大学 管理与经济学部，天津300072)

在大规模定制生产的背景下，产品族理论在近年成为学术界的热点研究方向，并且在产品族设计阶段就考虑到供应商、组装商、零售商等主体的研究也逐渐增多。这种基于斯坦伯格博弈的产品族主从关联优化模型往往具有复杂的数学性质，如下层有多个优化问题且有耦合变量、非线性、大量整数变量等，这会导致现有的求解算法往往无法处理。针对产品族主从关联优化模型的数学性质，提出了一个基于交互式模糊算法的双层规划近似算法，并给出了应用算法解决实际的产品族配置-参数优化问题的实际算例。

产品族设计；双层规划；交互式模糊算法；斯坦伯格博弈

game

产品族(product family)作为产品的一种扩展表现形式，近年来已经成为理论界和企业界主流关注的重要主题。这不仅因为产品族及其设计是大规模定制的核心内容，而且因为产品族的架构策略作为获取竞争优势的重要手段已经成为企业竞争战略的关键性构成要素。鉴于产品族的模型的多主体的特性，运用双层规划来描述企业的产品族策略成为近10年来的研究热点。

自20世纪70年代末已有众多学者对双层以及多层优化理论及其解法进行了研究，在理论、算法设计等方面得到了许多成果。现有的解双层规划的算法大致有K-th最好法、KKT方法、下降类算法、罚函数法等。但由于双层规划问题是NP难题，所以这类方法往往只能解决解空间有特定性质的双层规划问题。因此，开发求解双层规划的近似算法具有重要的意义。

1996年Shih和Lai[1]提出了解多层优化问题的新算法框架，被称作fuzzy approach，该算法考虑到将双层优化的实质归结为上下层目标的矛盾，通过引入目标函数和决策变量隶属度函数确定上下层满意度的阈值，将模型化为单层优化模型求解，在迭代中上层不断调整满意度阈值直到得到全局满意模型。该算法不同于传统的基于Stackelberg博弈的方法，在转化问题的过程中没有增加问题的复杂程度。之后的若干年不断有学者在Shih和Lai的基础上对该方法做出了相应研究。Shinha[2]在多层优化模型中运用此方法，Osman[3]将其推广到非线性及多层多目标的模型中，L.Vicente等[4]将其运用到2次规划中，Enam等[5]发展了该方法在整数非线性优化的运用。Sakawa等[6-12]在一系列的文献中论证了Shih和Lai提出的方法[1]求解出非全局满意解，由于上层决策者要指定目标函数的隶属度函数和决策变量的隶属度函数，这2个目标的不一致会导致求解结果不能达到全局满意，甚至会导致可行域在迭代中不断收缩直至成为空集。为了克服Shih和Lai所提方法的问题，Sakawa等提出了交互式模糊算法(interactive fuzzy approach)，运用迭代算子Δ实现上层决策者与下层决策者隶属度的取舍。与此同时Sakawa等[6,11-12]还探索了在线性和分式优化中模糊因素对该算法的影响，并在其基础上结合遗传算法发展了交互式模糊算法在0-1整数优化及非凸问题中的应用[8-9]。

针对运用交互式模糊算法的思想来解决BLMFP问题，Wang,Wan在Sakawa[13]的基础上提出了一种有共享变量的交互式模糊算法，但文章中给出的算法步骤并没有体现出共享变量在决策机制中的作用，把共享变量和下层各自独立决策的变量进行了相同的处理，在所构建算法中没有体现共享变量在BLMFP问题中有别于独立变量的性质。

本文通过总结以往学者的研究，结合模块配置-参数设计型产品族模型的特点，提出一个求解BLMFP问题的交互式模糊算法，该算法具有以下特点：

1) 运用了有别于文献[13]算法的隶属度函数构建策略，以加快其收敛性；

2) 在算法设计中体现了下层多个规划问题中的共享变量的特殊性质。

1　问题与模型的提出

1.1产品族主从关联优化问题

产品族及其架构的设计本质上是主系统和子系统间相互关联设计的问题。这种多主体的关系不仅体现在企业内部，也体现在企业同其供应商、组装商、维修商上。在以往的文献中，虽然对这些主体及其自身利益诉求对产品族及其架构设计的影响有大量研究，但大都是All in One的一揽子静态决策，没有体现主体之间相互博弈和相互权衡的思想。由于这些思想无法用传统的单层规划准确描述，要准确描述这些问题，必须引用基于Stackelberg博弈的双层规划来描述主体间的关系和各自利益的取舍。

根据产品性质及企业产品战略的不同，模型的上层决策者和下层决策者有很多种组合种类。例如上层决策者为平台效用，下层为产品参数决策；上层为平台参数，下层为差异化参数；上层为模块配置，下层为参数优化等。

Xia,Yi和Du Gang提出了二维矩阵模型完善了企业产品族主从关联优化问题的提出。该模型用2个维度来描述：一个维度为产品族的层次，如平台、产品、组件、供应链等；另一个维度为评价体系，如成本效益和技术指标等。通过箭头连接二维象限上的点就可以清晰地导出一系列产品族主从关联优化的问题。

1.2模块配置-参数设计型产品族模型的构建

以模块配置-参数设计产品族为例，其决策机制为平台者决策产品族的模块配置，参数决策者根据平台决策者给定的模块配置方案优化自身的参数选择，这是一个典型的斯坦伯格博弈模型，运用双层模型能表达其问题的实质。更进一步，由于产品族设计涉及多个产品及多个产品的多个属性的设计，往往造成下层有多个决策者，且决策者有共享变量的情况，所以研究求解一主多从且从者带有共享变量的双层规划问题(BLMFP with shared parameter)对于产品族理论在实际设计中的运用具有重要意义。

模块配置-参数设计型的产品族主从优化模型是指上层决策者首先决策产品族各个模块的选择。模块分为可选模块和必选模块，例如在计算机产品中，诸如显示模块、计算模块及存储模块等是必须的，而发声模块、网络连接模块是非必须的。每个模块都由若干个属性来描述，而每一个属性都可以分为若干个连续或离散的档级。例如，计算机存储模块中可以包含容量大小、硬盘转数、存储介质等属性，而每一个属性如存储空间大小又可以分为100GB、200GB等级别供选择。

模块配置和参数设计在本质上处于2个不同的层级，满足主从关联结构。尤其在本问题中，属性参数的设计依赖于模块配置的情况，处于相对从属的地位，但其优化结果也会对模块配置产生影响和约束，是交互的关系。两者的优化目标也具有层级的区别，模块配置是以整个产品族的利益为优化目标，一般会从企业竞争优势的角度出发，追求目标市场的客户利益最大化和企业利益最大化；而参数设计主要从本属性的技术层面考虑，追求每个具体属性的技术性能最优。综上，运用双层规划模型描述模块配置-参数设计型产品族问题是合适的。

本文模型为如下：

xjkl,yj∈{0,1}

s.t. hjk(Y,X,Zjk)=0

gjk(Y,X,Zjk)≥0

Gj(Y,X,ajk)≥0

j=1,…,J; k=1,…,K

(1)

模型的上层对模块进行配置，对已知的J种可能的排列进行选择，Y表示第j种产品方案Pj选择变量，为1时表示选择该产品，为0时表示不选择该产品；令所有的y组成矩阵Y。xjkl表示Pj中k属性l档级的选择变量，k=1,…,K，l=1,…,Lk。xjkl取值0或1,xjkl=1表示Pj中包括k属性的l档级；xjkl=0表示Pj中不包括k属性的l档级。令所有xjkl组成的矩阵为X。

上层采用效用和成品二者之比的形式，即单位成本的效用极大化作为上层规划问题的目标函数，如式(2)所示。

(2)

上层的约束条件主要是产品族的选择性要求，如产品族中的产品数量限制、两种不同产品的差异性要求、产品对属性档级的择一性要求。此外，还可根据情况增加一些特殊要求，如要求某属性的某档级必须选择等。

模型的下层需要对各产品每一种属性的技术参数设计进行决策，即对应于上层的模块配置决策，设计使本属性达到最优的技术参数。以zjkm表示j产品k属性的第m个设计参数变量，j=1,…,J，m=1,…,mjk，k=1,…,K，则Zjk=(zjk1,…,zjkmjk)为下层第Jk模型的决策向量；Zjk与Xjk相对应，Xjk表示j产品k属性中的档级选择，而Zjk表示在该档级中进行优化的设计参数。设计参数变量一般来自工程领域中常见的变量，这根据问题的对象来相互区别。

(3)

下层的约束条件可分为2类：一类是技术要求，如一些必要的技术指标，如功率、油耗、效率等，另一类是市场指标，如成本、利润率、市场效用等。

总结模型1的几个特点如下：

1) 模型为典型的值型双层规划问题，下层反馈自身的最优值给上层，含有0-1整数变量的非线性双层规划模型。

2) 模型的下层有多个决策者，且从者有关联。

3) 模型的上层规划问题的约束中不含下层的决策变量产品族设计中的其他优化问题往往也具有以上3种特性。

针对以上3种特性，可以将模型(1)简化为数学模型：

其中yi和z是如下问题的解:

针对求解有以上特点的双层规划模型的交互式模糊算法， Wang和Wan在文献[13]中提出了一个解决多个从者并且从者有关联变量情形的交互式模糊算法，但该文中的算法面临2个未解决的问题：

1) 针对下层规划问题公用的关联变量采用和一般变量相同的处理策略，没有体现公共变量的特殊性。

2) 文中满意度函数定义的方法较为简单，当可行域较大，目标函数值跨度较大时会对求解效率产生影响。

本文基于已有文献提出了一种改进的解，即主多从双层规划问题的交互式模糊算法。

2　算法的思想及解的分析

针对以下模型：

其中yi和z是如下问题的解:

其中yi和z是如下问题的解：

可以证明，上式等价于以下模型：

其中yi和z是如下问题的解:

(4)

(5)

针对每一个K继续求解如下模型(6)：

(6)

可以得到上层规划问题的隶属度函数为：

针对每一个j=1,2,…,K且j≠i求解模型(7)：

(7)

上下层规划问题的隶属度函数确定后，可以构建如下的单层数学规划模型：根据Sakawa等在文献[8]中的方法，得到的上、下层满意度函数构建为单层规划模型见式(8)：

(8)

其中，α为上层决策者对于隶属度的下界，然后定义文献[2]提出的衡量上层决策者对于下层决策者的忍让程度的变量δ。由于本文下层由多个决策者构成，为准确衡量上层决策者的忍让情况，做如下定义：对于每一个模型(8)的解可得

同时，上层指明一个忍让度最大值和最小值，分别为Δmin和Δmax，针对计算出的每一组δmin和δmax都有以下几种可能情况：

1) Δmin<δmin<δmax<Δmax，解满足终止条件，计算停止；

2)δmin>Δmax：当前忍让度过大，令αnewα+ε，重新计算模型(8)；

3)δmax>Δmin：当前忍让度过小，令αnewα-ε，重新计算模型(8)；

4) 若存在δi>Δmax，令αi=αi-ε，若存在δi<Δmax，则令αi=αi+ε重新计算模型(8)。

3　算法步骤

步骤5

1) Δmin<δmin<δmax<Δmax，解满足终止条件，计算停止；

2)δmin>Δmax：当前忍让度过大，令αnewα+ε，转步骤4)；

3)δmax>Δmin：当前忍让度过小，令αnewα-ε，转步骤4)；

4) 若存在δi>Δmax，令αi=αi-ε，若存在δi<Δmax，则令αi=αi+ε,转步骤4)。

4　算例

4.1模型介绍

本文以Simpson在其博士论文中提到的通用电机为对象。通用电器的电机产品广泛运用在多个场合，小至搅拌机、电吹风，大到风力发电机，而不同的应用场合和与应用场景相关的不同技术规格具有明显的产品族特性。本文在此运用产品族理论建立一个模块配置即参数优化思想的产品族主从关联优化模型，该模型最终归结为一个一主多从的双层规划问题。

有关通用电机的设计参数主要包括电枢上的线圈绕数Nc、磁场中磁极的线圈绕数Nc、电枢线圈的横截面积Awa(mm2)、磁极线圈的横截面积Awf(mm2)、定子的外径r0(cm)、定子的厚度t(cm)、堆栈长度L(cm)和电流I(A)。本案例考虑的通用电机产品族的8个设计变量的取值范围分别为100≤Nc≤1 500，1≤Ns≤500，0.01≤Awa,Awf≤1，1≤r0≤10，0.05≤t≤1，0.1≤I≤6，0.057≤L≤5.18。一些给定的参数包括空气槽长度lgap=0.07 cm，磁场中的极数pfield=2，铜电阻率ρ=1.69×10-8Ω·m，空气槽长度lgap=0.07 cm，磁场中的极数pfield=2，铜电阻率ρ=1.69×10-8Ω·m，真空磁导率μ0=4π·10-7H/m，T0=0.05 N·m，铁密度ρsteel=7.85 g/cm3，铜密度ρcopper=8.96 g/cm3，M0=2 kg。

根据模块配置-参数设计产品族模型的理论，上层规划问题对产品族中的产品进行选择优化，下层规划问题对每个产品的各个属性进行优化，描述通用电机的属性为：效率η、输出功率P、电机扭矩T，其中效率、功率和扭矩表达式为(9)～(11)。

输出功率P等于输入功率Pin减去电阻造成的功率损耗：

P=(Vt-2)I-104·ρ·I2·

(9)

效率η等于输出功率P除以输入功率：

(10)

其中电压Vt=115， P0=300W，Pin=Vt·I，空气槽长度lgap=0.07cm，磁场中的极数pfield=2，铜电阻率ρ=1.69×10-8Ω·m。

扭矩T等于电机常数、磁通量和电流三者的乘积：

(11)

其中：真空磁导率μ0=4π·10-7H/m；T0=0.05 N·m。要确定上层规划模型的具体表达式则要具体指明式中的参数和表达式。

通过联合分析求得LSLT=500,β=170。同时综合效用的表达式如(12)：

(12)

其中：ηL=0.6；ηU=0.8；PL=190；PU=240。

属性档级的效用值见表1。

表1　属性档级及其效用值

按照前文的叙述，下层规划模型要对所有产品的效率，扭矩两个属性进行优化，表达式如下所示：

效率：

(13)

扭矩：

(14)

4.2运用交互式模糊算法的计算结果

整体模型为如式(14)：

(15)

w.r.t.Nc,Ns,Awa,Awf,r0,t,L,I*

s.t.P=P0

T≥T0

r0≥t

Zj1,Zj2∈R,j=1,…,J

为了减少问题规模，将下层的扭矩和功率加和作为参数优化的目标函数，这意味着一共有J种排列组合，便有J个下层规划问题，下层变量中除了I*为下层共享变量外，其余变量都是从属于自身规划问题的独立变量。

计算求解结果见表2。

表2　计算结果和及关键参数

5　结束语

本文针对产品族主从关联优化模型的特色提出了一种基于交互式模糊算法框架的近似解法，成功解决了现有算法在面对下层多个规划问题且规划问题中含有公共决策变量的难点，在实际算例应用也中取得了良好的效果。但该算法还有诸多有待研究的地方，比如本文中确定容忍度上下限和是工程人员基于工程实际问题和经验提出的，而更科学的做法应当是研究一种针对不同问题的结构化导出和的方法。另外，本文所描述的算法是将双层规划转化为单层规划，在最终求解的过程中还需运用现有的求解单层数学规划的算法，所以研究一个针对产品族模型数学特色性质的单层规划模型也是笔者将重点研究的方向。

[1]SHIH H S,LAI Y J,LEE E S.Fuzzy approach for multi-level programming problems[J].Computers & Operations Research,1996,23(1):73-91.

[2]SINHA S.Fuzzy programming approach to multi-level programming problems[J].Fuzzy Sets and Systems,2003,136(2):189-202.

[3]OSMAN M S,ABO-SINNA M A,AMER A H,et al.A multi-level non-linear multi-objective decision-making under fuzziness[J].Applied Mathematics and Computation,2004,153(1):239-252.

[4]VICENTE L,SAVARD G,JúDICE J.Descent approaches for quadratic bilevel programming[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1994,81(2):379-399.

[5]EMAM O E.A fuzzy approach for bi-level intege1r non-linear programming problem[J]. Applied Mathematics and Computation2006,172:62-71.

[6]SAKAWA M,NISHIZAKI I.Interactive fuzzy programming for two-level linear fractional programming problems[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,119(1):31-40.

[7]SAKAWA M,NISHIZAKI I.Interactive fuzzy programming for decentralized two-level linear programming problems[J].Fuzzy Sets and Systems,2002,125(3):301-315.

[8]SAKAWA M,NISHIZAKI I.Interactive fuzzy programming for two-level nonconvex programming problems with fuzzy parameters through genetic algorithms[J].Fuzzy Sets and Systems,2002,127(2):185-197.

[9]SAKAWA M,NISHIZAKI I,HITAKA M.Interactive fuzzy programming for multi-level 0-1 programming problems with fuzzy parameters through genetic algorithms[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,117(1):95-111.

[10]SAKAWA M,NISHIZAKI I,UEMURA Y.Interactive fuzzy programming for multilevel linear programming problems[J].Computers & Mathematics with Applications,1998,36(2):71-86.

[11]SAKAWA M,NISHIZAKI I,UEMURA Y.Interactive fuzzy programming for multi-level linear programming problems with fuzzy parameters[J].Fuzzy Sets and Systems,2000,109(1):3-19.

[12]SAKAWA M,NISHIZAKI I,UEMURA Y.Interactive fuzzy programming for two-level linear fractional programming problems with fuzzy parameters[J].Fuzzy Sets and Systems,2000,115(1):93-103.

[13] WANG G,WANG X,WAN Z.A fuzzy interactive decision making algorithm for bilevel multi-followers programming with partial shared variables among followers[J].Expert Systems with Applications,2009,36(7):10471-10474.

(责任编辑刘舸)

Interactive Fuzzy Approach for Joint Optimization of Product Family Design

ZHANG Ru-chuan，DU Gang

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Under the industrial background of mass production, the theories about product family are hot research spot in recent years. Research considering the main body such as suppliers, assemblers and retailers in product family design phase is also increasing gradually. And instead of the static all-in-one optimization, many researchers take further step to deal with multi-agent problem inherited in the product family design on Stackelberg game perspectives. But those multi-follower bi-level programming problems always have complicated mathematic characteristics which the existing algorithms are unable to solve. In this paper, we introduced an approximating algorithm based on interactive fuzzy approach and a numerical example was provided to show its effectiveness on solving product family design problems.

product family design; bi-level programming; interactive fuzzy approach; Stackelberg

2016-01-26

国家自然科学基金项目“面向产品族设计与架构的主从关联优化决策链及决策方法研究”(71371132)

张如川(1990—)，男，天津人，硕士，主要从事运筹学、工业工程、产品族架构与设计研究，E-mail:isaaczhang_tju@126.com。

format：ZHANG Ru-chuan，DU Gang.Interactive Fuzzy Approach for Joint Optimization of Product Family Design[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):156-164.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.026

O22

A

1674-8425(2016)08-0156-09

引用格式：张如川，杜纲.面向产品族优化设计的交互式模糊算法[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(8):156-164.