李宝麟,赵红岩,魏婷婷,刘丽丽,张元德

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州　730070)



Caratheodory系统的解相对于初值条件的可微性

李宝麟,赵红岩,魏婷婷,刘丽丽,张元德

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070)

0　引言

考察常微分方程

(1)

其中

假设f满足以下条件：

1　预备知识及定义

首先介绍广义常微分方程和Kurzweil积分的相关理论.

(2)

(3)

则称x为广义常微分方程

的解.

(4)

且对任意的(x,t1),(x,t2),(y,t1),(y,t2)∈G,有

(5)

(6)

则

(7)

如果U关于第二个变元是正则的,那么u也是正则的,且满足

则

其中τ,t,s∈[a,b].

(8)

则z在区间[a,b]上是正则的.

则对任意的ξ∈[a,b]，有

(9)

其中

2　主要结果

(ii)函数x0在λ0处可微.

则对所有的t∈[a,b],函数λ|→x(t,λ)在λ0处一致可微,且其导数Z(t)=xλ(t,λ0),t∈[a,b]是广义常微分方程

(11)

的唯一解,其中s∈[a,b].

证明根据假设,存在常数M,L>0,对每个x,y∈Bc,有

令

则对于任意的s,t∈[a,b],有

即Fx∈F(G,h,ω),其中h(t)=(M+L)t,ω(t)=t.

根据向量值函数的中值定理,有

(12)

对任意的λ∈Λ,s∈[a,b],广义常微分方程(10)等价于

其中

由(12)式,我们得到

由引理2,对任意的s∈[a,b],有

由引理5得

其中s∈[a,b].从而,当Δλ→0时x(s,λ0+Δλ)一致收敛于x(s,λ0).

从而

其中

因此令A=x(τ,λ0+Δλ),B=x(τ,λ0),则有

由于x|→F(x,t)在Bc上的连续可微性及φ(r,Δλ)的定义可知,对任意给定的ε>0及t,s∈[a,b],有

所以

由三角不等式得

最后,由引理5得

因为ε→0+,所以对所有的r∈[a,b],当Δλ→0时,φ(r,Δλ)一致趋于0.】

[1]贺建勋，陈彭年．不连续微分方程的某些理论与应用[J].数学进展,1987,16(1):17．

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[10]KURZWEILJ.Generalizedordinarydifferentialequations[J].Czechoslovak Math,1958,8:360.

(责任编辑马宇鸿)

LIBao-lin,ZHAOHong-yan,WEITing-ting,LIULi-li,ZHANGYuan-de

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.004

2015-03-15;修改稿收到日期:2015-10-08

国家自然科学基金资助项目(11061031)

李宝麟(1963—),男,甘肃天水人,教授,博士.主要研究方向为常微分方程与动力系统.

E-mail:libl@nwnu.edu.cn

O175.12

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0014-04