☉河南省商水县平店乡第一初级中学　支永辉

牵手“面积函数”的四边形压轴题

☉河南省商水县平店乡第一初级中学支永辉

近年来的中考打破了坐标系与圆联手坐阵中考压轴题的格局，出现了“一枝独秀不是春，万紫千红春满园”这种百花竞放的新景观，其中很难占据压轴位置的四边形悄然牵手“面积函数”（以求面积为目标的函数，为表述方便，在此自设的特定称谓），博得压轴的一席之位，给“把关题”带来了活力.现择几道近几年的中考题作一盘点，以飨读者.

一、矩形牵手“面积函数”

图1

例1（2016年宁夏）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值.

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由.

分析：本题为四边形的综合应用，涉及的知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等.在（1）中求得S关于x的关系式（面积函数）后，求S的最值时，x的取值范围尤为重要，不谨慎就会出错；在（2）中寻出三角形相似并证明其相似是解题的关键.这种探索性追溯是近来中考中常见的题类，值得我们关注.（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相……