☉西藏拉萨北京实验中学　谢　颖

人教版与北师大版初中数学教科书“图形与几何”内容习题难度的比较研究

☉西藏拉萨北京实验中学谢颖

教科书既是依据课程标准和学生接受能力编写的教学材料，也是教师授课与学生学习的重要载体.而习题是教材的重要组成部分，习题的配置在一定程度上反映了数学教材编者的价值取向与编写风格，因此，对教材中的习题进行研究是教材研究的一个重要方面.自新课程改革以来，“图形与几何”内容作为义务教育数学课程的4个学习领域之一，占有着非常重要的地位.基于此，以我国现行使用的人民教育出版社出版的义务教育数学课程标准实验教科书（以下简称“人教版”）与北京师范大学出版社出版的义务教育数学课程标准实验教科书（以下简称“北师大版”）两个版本的教科书为例，通过对两个版本教科书中“图形与几何”内容的习题在认知水平、习题背景和习题要求三个方面进行比较研究，希望能为一线数学教师习题处理提供一些启示.

一、研究设计

二、研究结果与分析

本研究对两版教科书中“图形与几何”领域的各类习题数量进行统计.由于两版教科书配置的习题都有一个题目中包含多次提问和一个题目下有若干小题的情况，因此，在对习题数量进行统计时，对于题目里如有多次提问的习题，根据习题性质，是否含有并列关系，若含并列关系的为两题，若不含并列关系，即按一个题目计算.根据习题的特点，按如下分类进行比较.

例如，如图（图略），等边三角形的边长是6.求：（1）高AD的长；（2）这个三角形的面积.该题目中有2次提问，但每问均有联系不含并列关系，按1题计算.又如，（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？该题目中有2次提问，含有并列关系，按2题计算.按此标准分别统计两版教科书中“图形与几何”领域共有的练习题、习题和复习题的数量及所占比例，结果如表1所示.

表1　两版本教科书中“图形与几何”领域习题总量统计表

从表1中可以看出，在习题总量上，北师大版比人教版教科书多122个题目.但从习题类型上看，两版教科书的习题均分为练习题、习题和复习题，人教版中的三类习题分别占习题总量的29.7%、47.6%、22.7%；北师大版的三类习题分别占习题总量的21.1%、48.0%、30.9%.由此可见，两版教科书习题在配置上有明显差异，人教版中练习题的数量比北师大版多，说明人教版注重基础性习题，而北师大版中复习题的数量多，说明北师大版更加注重于综合性较强的习题.

1.习题认知水平的比较

习题的认知水平（E1），基于教科书中习题与正文、例题的关系和相关已有研究，在分析两版教科书习题实际情况后，将习题与例题匹配或习题认知要求的内涵界定为作答方式、运算或推理步骤及解题方法等数学特征.本文依据教科书习题与例题或示例在这些方面的相似程度，划分为模仿、迁移和探究三个水平，其赋值标准界定如表2所示.

表2　习题认知水平的赋值标准界定表

在这3个层次中，水平1为较低认知水平，水平2为较高认知水平，水平3为高认知水平.本文中根据学生解答某类习题所需要达到的数学认知水平层次，对习题的数学认知水平的层次作如下界定.

水平1：模仿，也称概念、计算——操作性记忆水平.该层次的习题是考查学生对教科书中概念的理解和简单的计算，只需要学生呈现已经学习过的数学事实或术语、基本概念等，能对概念进行特殊分类，揭示概念的外延，并利用概念的定义进行简单的识别活动，要求学生具备最低层次的数学认知水平就可以完成解答.

水平2：迁移，也称领会——说明性理解水平.该层次的习题所要求的数学认知水平超越了前面仅依赖记忆的认知水平.解答这类习题需要学生彻底理解所提问题的原理和问题中涉及的概念，对所给信息进行筛选、提炼和简单的推理，使问题得到解决，这不仅需要对运算、概念有彻底的理解，还需要确定题目所给的哪些信息对解决问题是有用的，包括与例题相近的习题.

水平3：探究，也称分析——探究性理解水平.该层次的习题需要学生具备高层次的数学认知水平.解答这类习题需要学生对问题进行分析，并把分析过程综合起来，创造性地解决问题.该类习题学生之前没有接触过或没有现成的解决方案，包括开放题、探究问题，不同于例题的非常规问题等.

基于此，统计出人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域的习题认知水平的数量，如表3所示.

表3　习题认知水平的数量统计表

根据以上数据，通过对比可知：人教版教科书“图形与几何”领域的习题处在模仿、迁移和探究三个习题认知水平上的知识点个数分别为395、561、98，各自占的百分比分别为37.47%、53.23%、9.30%；而北师大版教科书“图形与几何”领域的习题处在模仿、迁移和探究三个习题认知水平上的知识点个数分别为357、757、62，各自占的百分比分别为30.36%、64.37%、5.27%.在“模仿”和“探究”水平上人教版比北师大版分别高7.11和4.03个百分点，而在“迁移”水平上北师大版却比人教版高出11.14个百分点.

两版教科书中“图形与几何”领域的习题认知水平层次差异不大.练习题与习题的背景主要是单一的概念、运算法则，对某种数学技能和性质的应用等，在习题认知水平上以模仿和迁移的题目为主；而复习题要求学生对知识、技能进行分析、综合、复习与运用，创造性地解决相关综合性强的题目，灵活性更高，综合性更强，供每章复习时使用.人教版中的复习题包括复习巩固、综合运用和拓广探索；北师大版中的复习题包括知识技能、数学理解和联系拓广，在认知水平上更注重于迁移和探究的综合应用较多.整体来看，该知识领域中习题的总体认知水平主要以模仿和迁移为主，较低认知水平（概念、计算—模仿）与中认知水平（领会—迁移）、较高认知水平（分析—探究）的习题，呈“头重后轻”的形式，凸显出“图形与几何”领域知识的特点，同时也反映了我国教科书中习题选择和编排的层次性，这点既满足新课程改革的教学要求，也非常符合我国的水平结构化考试要求.

2.习题背景的比较

关于习题背景（E2），根据我国义务教育数学课程标准提出学生的现实主要包括数学现实、生活现实和其他学科现实，［2］基于此和学生能否直接感知，以及习题是否要求学生从背景中提取数学信息或数学化，将教科书习题背景划分为无背景、生活背景和科学背景三个水平，其赋值标准界定如表4所示.

表4　习题背景的赋值标准界定表

在这3个层次中，水平1为无背景水平，水平2为生活背景水平，水平3为科学背景水平.本文中根据教科书呈现的习题内容背景对习题背景层次作如下界定.

无背景：在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB；（3）高CD.（人教版八年级下册28页习题17.1第7题）.分析：此题背景只是三角形图形，所以归为“无背景”水平习题.

生活背景：某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中拴一条线绳，线绳的另一端挂一个线锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的.他们的判断对吗？为什么？（图略）（人教版八年级上册第82页习题13.3第9题）分析：河沿村中学的同学检测教室的房梁是否水平，属于与学生熟悉的生活问题，所以归为“生活背景”水平习题.

科学背景：收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流（北师大版八年级上册171页习题7.3第3题）.分析：欧几里得是著名的数学家，《原本》是一部世界数学名著，所以归为“科学情景”水平习题.

基于此，统计出人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域的习题背景的数量，如表5所示.

表5　习题背景的数量统计表

根据以上数据，通过对比可知：人教版教科书“图形与几何”领域的习题背景处在无背景、生活背景和科学背景三个习题背景水平上的知识点个数分别为850、199、5，各自占的百分比分别为80.65%、18.88%、0.47%；而北师大版教科书“图形与几何”领域的习题背景处在无背景、生活背景和科学背景三个习题背景水平上的知识点个数分别为894、267、15，各自占的百分比分别为76.02%、22.70%、1.28%.在“生活背景”和“科学背景”水平上北师大版比人教版分别高3.82和0.81个百分点，而在“无背景”水平上人教版却比北师大版高出4.63个百分点.

3.习题要求的比较研究

习题要求（E3）更多关注的是如何解决问题，运用事实、概念和程序等，通过训练、巩固，形成能力，学以致用.结合习题的特有功能，界定习题要求的赋值标准如表6所示.

表6　习题要求的赋值标准界定表

在这3个层次中，水平1为知道水平，水平2为应用水平，水平3为探究水平.本文中根据习题情境对习题要求层次作如下界定.

知道：下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？（图略）（人教版七年级下册第7页习题5.1第一题的第一小问）分析：因为此题只需辨别哪两个角是对顶角，属于概念性识记问题，所以归为“知道”水平的习题.

应用：如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设纵向联通管道？为什么？（图略）（人教版七年级下册第23页习题5.3第5题）分析：因为此题是利用两平行线的性质解决实际问题，所以归为“应用”水平的习题.

探究：（1）大家知道（3，4，5），（5，12，13），（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由.（2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律？与同伴进行交流.（北师大版八年级上册第19页复习题第14题）分析：此题需要根据勾股数组发现规律，作出结论，并根据规律论证结论，属于“探究”性水平的习题，

基于此，统计出人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域的习题要求的数量，如表7所示.

表7　习题要求的数量统计表

根据以上数据，通过对比可知：人教版教科书“图形与几何”领域的习题处在知道、应用和探究三个习题要求水平上的知识点个数分别为155、799、100，各自占的百分比分别为14.71%、75.81%、9.48%；而北师大版教科书“图形与几何”领域的习题处在知道、应用和探究三个习题要求水平上的知识点个数分别为152、949、75，各自占的百分比分别为12.93%、80.70%、6.37%.在“知道”和“探究”水平上人教版比北师大版分别高1.78和3.11个百分点，而在“应用”水平上北师大版却比人教版高出4.89个百分点.

三、研究结果与建议

1.两版教科书“图形与几何”内容习题难度比较研究结论

两个版本教科书中“图形与几何”领域的习题在习题要求上各部分所占的比例差别不是太大.两版本教科书中的习题在习题要求上比较侧重的是“应用”、“知道”和“探究”水平明显较低.两个版本教科书中属于“探究”习题要求的题目在数量较少的基础上，主要出现在小节习题的最后或单元复习题的最后，而极少出现在章节的“练习题”、“课堂练习”等部分的习题中，这是从具体题目上看得出的结果.

综上所述，根据公式E=0.34E1+0.32E2+0.34E3，结合以上数据分别求得两版教科书中“图形与几何”领域的习题难度量化值为：

为了更加直观清晰地显示两版教科书中“图形与几何”领域的习题要求（E）的分布情况，特绘制柱形图如图1所示：

图1　两版教科书“图形与几何”内容习题难度的比较研究

从总量化上看，北师大版教科书略难，人教版教科书略易.事实上，依据前述习题难度确立的原则和标准，就习题认知水平而言，90%以上的习题能够通过模仿例题或在理解知识点的基础上得到解决，仅有少量习题与例题不相似，属于探究水平的习题不到10%；就习题背景水平而言，两版教科书中无背景习题占绝大多数，仅有20%左右的习题属于生活背景题，还有少量涉及科学背景，这充分说明了两个版本教科书中“图形与几何”领域的习题在背景素材的选用上更多地突出了几何学特点；就习题要求水平而言，两版教科书中习题要求知道所需事实、概念和程序，以及选择或应用事实、概念和程序解决有预设程序或途径的常规问题占90%以上，极少数题要求探究，占比低于10%.

2.教科书使用建议

基于习题设置特点，为学生提供分层练习.注重课后练习、精选习题、有效训练是学好数学的有效方案.作为教师要对教科书中的习题应该加以灵活的运用，针对具体的知识内容，设置出能够促进学生思维发展并引起学生产生学习兴趣的问题情境.选择合理的教学方式能够让学生掌握基础知识的同时并能获得思维能力.对习题进行有效开发、分层练习，在保证习题质量的基础上，确保习题的数量，减轻学生的负担.

因此，教师要立足于学生已有的数学知识经验和生活经验，结合本地、本校的实际需求，对教科书进行灵活地处理，及时调整教学活动.因地制宜地开发有利于学生自主、合作、探究等形式学习的教辅，制作适合学生自主交流、动手操作及小组合作中使用的教具等.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.蔡庆有，邝孔秀，宋乃庆.小学数学教材难度模型研究［J］.教育学报，2014（10）.