☉江苏海门市悦来初中　杨卫东

客从何处来：一道几何把关题的命制历程

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中考把关题的命制坚持“从教材出发，源于教材、高于教材”已逐渐成为各地中考命题组的共识.本文记录一道考题（2016年江苏省南通市第27题）的命题历程与打磨意见，供分享.

试题原型：（人教版九下P36，练习2）如图1，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.

图1

求证：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC.

考查方向：主要考查相似三角形的判定方法，由∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，得∠A+∠ACD=∠BCD+ ∠ACD=90°，可得∠A=∠BCD，进而△ACD∽△ABC∽△CBD.

设问方向：

（1）在这个基本图形中，只要已知其中的任意2条线段长，你可以求出其他所有线段长吗？

设问意图：比如已知CD和AB的长，可设AD=x，则BD=AB-x，利用CD2=AD·BD得x（AB-x）=CD2，解这个一元二次方程，即可求出x的值，利用已知图形中AD与BD的大小关系，可以确定AD与BD的长，再利用勾股定理去求出AC、BC的长.

（2）若已知两直角边的长，不利用三角形相似，你能求出斜边上的高CD的长吗？

形成初稿：如图2，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CO⊥AB于点O，D是线段AB上一点，DE=a，DE∥AC（∠ADE＜90°），连接AE、BE、CD，设BE、CD的中点分别为P、Q.

（1）当四边形ACDE是菱形时，求AD、CO的长；

（2）当a=2时，求PQ的长；

（3）点D从点A开始运动到点B停止，请直接写出线段PQ的中点运动的路径长.

图2

图3

所以，（1）中添上了条件“四边形ACDE是菱形”，考生需要分析出a=3，且点O恰好是线段CE的中点.

当然，凭借“试题原型”中的经验，不难求出AD和CO的长.

（3）中求线段PQ的中点运动的路径长，可以先突破：动点P、Q的运动轨迹是什么？由平移的性质和点D的起始位置与终止位置得：四边形AEE′B是平行四边形，点P和点Q的运动路径分别为线段PP′、QQ′.（见图4）

图4中，PB=PE，BP′=P′E′，有PP′∥EE′，PP′=EE′；又▱AEE′B中，EE′=AB，EE′∥AB，得PP′∥AB，PP′=E′P′B（D′）AB.同理：QQ′∥AB，QQ′=AB.所以PP′∥QQ′，PP′=QQ′，即四边形PP′Q′Q是平行四边形.于是可求出线段PQ的中点运动的路径长=