安徽省合肥市第十七中学

杨维维　　(邮编：230011)



将构造函数进行到底

安徽省合肥市第十七中学

杨维维(邮编：230011)

高考中含参数导数题，不管是选择、填空题还是解答题，学生往往难以找到有效的突破口，或者一遇到此类问题就分离参数，有的可以解决，有的造成计算量大且难以进行.此类问题的求解有两种基本思路：可以分离参数再构造函数，也可以直接构造函数.对于直接构造函数的情形，我们可构造一个函数，也可构造两个函数.

1　构造函数　因法而异

例1(2013年湖北省高考数学理科第10题)

已知a为常数，函数f(x)=xlnx-ax2有两极值点x1、x2(x1

思路一求导后，分离参数再构造函数

解法一 由于f(x)=xlnx-ax2x有两个极值点x1、x2(x1

f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点x1、x2，

(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0—f(x)↘极小值↗极大值↘

解法二f′(x)=lnx-2ax+1(x>0)有两个零点x1、x2.

令f′(x)=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1、x2，即g(x)=lnx与 h(x)=2ax-1 在(0,+∞)上有两个交点.

由图象得 a>0，且0

思路三求导后，构造一个含参数函数，进行二次求导

所以y=g(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去.

例2 (2016年高考数学全国卷I理科第21题) 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点．

(I)求a的取值范围；(II)略.

解 (I)

法一分离参数再构造函数

当x=1时，f(1)=-e，故x=1不是零点.

所以g(x)在(-∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增.

又g(2)=0，当x∈(-∞,1)时，g(x)<0，又x趋向于1时，g(x)趋向于-∞，x趋向于-∞时，g(x)趋向于0，若函数f(x)有两个零点，则需-a<0,即a>0.

法二变形后构造两个函数

设f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0，得(2-x)ex=a(x-1)2,

令g(x)=(2-x)ex，得g′(x)=(1-x)ex，当x∈(-∞,1)时，g′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(-∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，则在x=1处取得极大值g(1)=e.

又x<1时，g(x)=(2-x)ex>0，x=3时，g(x)=-e3<0，又设h(x)=a(x-1)2，知：

①当a>0时，h(x)=a(x-1)2为开口朝上的抛物线，顶点为(1,0)，所以函数f(x)有两个零点；

②当a=0时，h(x)=a(x-1)2为x轴，所以函数f(x)有一个零点；

③当a<0时，h(x)=a(x-1)2为开口朝下的抛物线，顶点为(1,0)，所以函数f(x)不可能有两个零点.

综上，a的取值范围为(0,+∞).

法三直接利用已知函数，讨论函数单调性

f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

①设a=0，则f(x)=(x-2)ex，所以f(x)有一个零点；

②设a>0，则当x∈(-∞,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增.

③设a<0，由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点.

比较三种方法，本题法一较简便.

2　构造函数　合理选择

例3(2016年合肥市二模理科第21题) 已知函数g(x)=ax3+x2+x (a为实数).