安徽省太湖中学

李昭平　　(邮编：246400)



闯过导数解题误区

安徽省太湖中学

李昭平(邮编：246400)

“导数”的引入，开辟了研究和解决函数问题、不等式问题、方程问题和优化型应用问题的新思路、新方法和新途径，拓宽了我们的解题空间和高考的命题空间.但在运用导数解题的过程中，常常会出现这样或那样的错误，有的错误往往难以察觉. 下面是笔者在多年的教学实践中发现的解题误区，整理如下, 供复习中参考.

误区1忽视导数值的意义致错

例1已知f(x)=3x4-2x3+x-4,求f′(0).

错解由f(x)=3x4-2x3+x-4，得f(0)=-4，因此，f′(0)=(-4)′=0.

误区2忽视函数的定义域致错

例2求函数f(x)=2x2+ln(1-x)的单调区间.

误区3忽视“过一点的切线”的意义致错

例3已知函数f(x)=x3-2x2+1，求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程.

故过点P(2,1)的曲线的切线方程是y-1=4·(x-2),即4x-y-7=0.

误区4忽视存在极值的条件致错

例4已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上有极值,求实数a的取值范围.

错解由题意知,f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0在R上有实数解,所以△≥0,即4a2-12(a+6)≥0，解得a≤-3或a≥6.

剖析本题错在将极值存在的必要条件f′(x0)=0当作充要条件使用. 显然, 当a=-3时,f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=3(x-1)2≥0，1不是极值点,f(x)在R上没有极值; 当a=6时,f′(x)=3(x+2)2≥0， -2也不是极值点,f(x)在R上也没有极值. 对于可导函数f(x)，f′(x0)=0是f(x)在x0处取得极值的必要而非充分的条件，解题时还要验证在x0附近f′(x)是否异号. 这里应该由△>0确定a的取值范围, 正确答案是a<-3或a>6.

误区5忽视极值点与切点的区别致错

误区6忽视导函数与原函数图象的关系致错

例6设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如下左图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()

错解本题是一道选择题，实践表明，许多学生由于对导函数与原函数的图象之间的关系不清楚而凭空乱猜.