金国林

(浙江省宁波市镇海中学，315200)



○短文集锦○

例谈三倍角公式的应用

金国林

(浙江省宁波市镇海中学，315200)

正余弦函数的三倍角公式作为一个证明题出现在人教A版必修4习题3.1的B组中.尽管如此,由于平时运用公式解决问题的机会不多,学生对三倍角公式还是比较陌生的,有些问题也联想不到三倍角公式上去.但是三倍角公式却是许多试题的题源,受到高校自主招生和各类竞赛命题者的青睐.针对这种情况,笔者举例来简单谈谈公式的常见应用,以飨读者.

一、熟悉公式

容易证明三倍角公式：

sin 3x=3sin x-4sin3x;

cos 3x=4cos3x-3cos x;

二、计算特殊角的三角函数值

例1计算sin 18°.

解由sin 54°=cos 36°，可得

3sin 18°-4sin318°=1-2sin218°，

评注学生一般对15°的倍数角的三角函数值非常熟悉.事实上，18°角也是一个非常重要的特殊角,在很多方面有很好的应用．

三、判断三角函数值的特性

例2证明tan 3°是无理数

评注本题是2014年北约自主招生试题.利用反证法,结合正切函数的三倍角公式,不难得到证明.

四、三角恒等式的化简、求值

例3化简下式：

解由sin 3θ=3sinθ-4sin3θ,得

=1+2cos 2θ.

评注将公式进行变形后运用,往往能取得意想不到的效果．

五、在三次方程中的应用

例4设函数f(x)=x3-3x+1有三个不同的零点α,β,γ,且α<β<γ，求证:β2-γ2=α-β.

证明由题意f(-2)<0,f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0，

故α∈(-2,0),β∈(0,1),γ∈(1,2).

评注本题是一道2009年的匈牙利数学竞赛题.观察三次方程的系数特点,巧妙联系正弦三倍角公式,将方程的三个根以三角函数值的形式简洁表示,回避了繁杂的根式表达,大大简化了后续运算.

六、求解高次方程组

例5求出满足下面方程组的所有五元数组(x,y,z,v,w),其中x,y,z,v,w∈[-2,2].

解设x=2cosθ1,y=2cosθ2,z=2cosθ3,v=2cosθ4,w=2cosθ5,θi∈[0,π].

又……