周顺钿

(浙江省杭州高级中学，310003)



○数学探究○

阿波罗尼斯圆的探究及其应用

周顺钿

(浙江省杭州高级中学，310003)

一、问题背景

我们知道,到两定点的距离之和为定值(定值大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差为定值(定值大于零且小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线．那么，到两定点的距离之商为定值(定值大于零且不等于1)的点的轨迹是什么呢?这就是由公元前3世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius of Perga,公元前262-公元前190)提出的几何作图问题,载于他的《论接触》中,惜原书已失传．

若避开纯几何解决方法，我们从解析法探究：设两个定点的坐标为A(-a,0),B(a,0),动点P的坐标为(x,y).

(x+a)2+y2=k2[(x-a)2+y2],

展开化简，得

于是,平面内到两个定点的距离之比为常数k(0

现行中学数学教材在编写时都十分重视对数学历史题材的挖掘和应用.如，苏教版数学选修2-1在第二章《圆锥曲线和方程》第63页例2：“求平面内到两定点距离之比等于2的动点M的轨迹方程”就是对阿波罗尼斯圆的开发与应用.

二、阿波罗尼斯圆的灵活应用举例

例1在直角坐标平面上,已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0)．点M是线段AD上的动点,如果|AM|≤2|BM|恒成立,求正实数t的最小值．

评注本题的关键是将问题转化为直线与圆的位置关系．

例2(2013年江苏高考题)如图1，在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),设圆C的半径为1,圆心C在直线l:y=2x-4上．

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解(1)所求切线方程为y=3或者3x+4y-12=0．(过程略)……