多解问题归类解答
2016-08-26丁洁
文/丁洁
多解问题归类解答
文/丁洁
在中考试题中，多解问题是一类常见而重要的问题，解决这类问题要多角度、全方位、深层次地去思考.下面以2015年中考试题为例，对常见的多解问题加以归类解析，供你复习时参考.
一、由高的位置不同引起的多解
图1
图2
A.7B.8C.8或17D.7或17
作AD⊥BC于点D，如图1.
（1）当高AD在△ABC内时，
（2）当高AD在△ABC外时，如图2，BC=BD-CD=12-5=7.综合（1）、（2）可知，选D.
温馨小提示：三角形的高可在三角形内，也可在三角形上或三角形外，对于没有明确三角形高的位置的“涉高”问题，要注意分类讨论，谨防漏解.
二、由弦所对的弧引起的多解
图3
例2（2015年泉州卷）在以O为圆心，3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于______cm；弦AC所对的弧长等于_____cm.
解析：如图3，连接OB、AC，
∵四边形OABC为菱形，∴OA=AB=BC=OC.
∵⊙O的半径为3cm，∴OA=OC=3cm.
∵OA=OB=AB，∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°.
因此该菱形的边长等于3cm，弦AC所对的弧长等于2π或4πcm.
温馨小提示：在圆中，非直径的弦所对的弧有劣弧和优弧，要注意分类求解.
三、由绝对值的性质引起的多解
图4
例3（2015年泰州卷）已知一次函数y=2x-4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数图像上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.
（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；
（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值.
解析：（1）令x=0得，y=-4，令y=0得，x=2，
所以OA=2，OB=4，故d1+d2=3.
（2）设P（m，2m-4），则d1+d2=|m|+|2m-4|.
当m＞2时，d1+d2=m+2m-4=3，解得m=，此时P（1，）；
当0≤m≤2时，d1+d2=m+4-2m=4-m=3，解得m=1，此时P（21，-2）；
当m＜0时，d1+d2=-m+4-2m=4-3m=3，解得m=，舍去.
（3）由已知得，|2m-4|+a|m|=4，当a=2，0≤m≤2时，都符合要求，故a=2.
温馨小提示：遇到含有绝对值的问题，需去掉绝对值符号，这就要根据绝对值的性质进行分类求解，从而得到多解.
