文/汪国刚

方案设计题常见解法

文/汪国刚

方案设计题考查数学的应用意识，命题的背景材料广泛，考生施展才华的空间大.下面以2015年的中考题为例，把中考设计类题归类分析，供你复习时参考.

类型1　利用一次方程进行方案设计

例1（2015年齐齐哈尔卷）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和长绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，长绳单价5元，购买方案有（）.

A.1种B.2种C.3种D.4种

解析：设毽子买x个，长绳买y根，依据题意得3x+5y=35，

类型2　利用一元一次不等式进行方案设计

图1

例2（2015年台湾卷）图1为某餐厅的价目表，今日每份餐点价格均为价目表价格的九折.若恂恂今日在此餐厅点了橙汁鸡丁饭后想再点第二份餐点，且两份餐点的总花费不超过200元，则她的第二份餐点最多有几种选择？（）

A.5B.7

C.9D.11

解析：设第二份餐点价格为x元，由题意，得（120+x）×0.9≤200，

故满足条件的餐点价有60元，70元，…，100元共9种选择.选C.

类型3　利用函数进行方案设计

例3（2015年北京卷）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

会员年卡类型A 类_ _ _ _ _ _ _ B 类_ _ _ _ _ _ _ C类办卡费用（元）5 0 2 0 0 4 0 0每次游泳收费（元）2 5 2 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _

例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（）.

A.购买A类会员年卡B.购买B类会员年卡

C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡

解析：设一年内在该游泳馆游泳x（次），所花的费用为y（元）.购买会员年卡三种消费情况分别是：yA=25x+50；yB=20x+200；yC=15x+400.

由于45＜x＜55，当x=50时，yA=25×50+50=1300，yB=20×50+200=1200，yC=15×50+400 =1150，不购买会员年卡，需花费50×30=1500元，

∴1500＞1300＞1200＞1150，选C.

类型4　方程、不等式、函数与方案设计

例4（2015年泸州卷）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）.

（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.

∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元.

（2）设购买A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，

∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，

∵m是正整数，∴m最小值=11.

设购买花草总费用为W，则W=20m+5（31-m）=15m+155，

∵k＞0，∴W随m的减小而减小，

当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）.

答：购进A种花草11株、B种20株，费用最省，最省费用是320元.

类型5　几何问题的方案设计

例5（2015年洛阳卷）某校七年级学生到野外活动，为了测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计如下几种方案：

图1

图2

图3

甲：如图1，在平地取一个可直接到达A、B两点的C，连接AC、BC，并分别延长AC到D，BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测得DE的长即为A、B的距离；

乙：如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC=CD，过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测得DE的长即为A、B的距离；

丙：如图3，过点B作BD⊥AB，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A、B的距离.

（1）以上三位同学的设计方案，可行的有_____；

（2）请你选择一种可行方案，并说明可行的理由.

解：（1）甲、乙、丙.

（2）答案不唯一，如选甲的方案.

理由是：∵DC=AC，EC=BC，∠ACB=∠DCE，

∴△ABC≅△DEC，所以AB=ED.

类型6　统计与概率的方案设计

例6（2015年宜宾卷）为进一步增强学生体质，我市从2016年起，中考体育测试将进行改革，实行必测项目和选测项目相结合的方式.必测项目有三项：立定跳远、坐位体前屈、跑步；选测项目：在篮球（记为X1）、排球（记为X2）、足球（记为X3）中任选一项.

（1）每位考生将有______种选择方案；

（2）用树状图或列表的方法求小颖和小华选择同种方案的概率.

解：（1）3.

（2）用树状图表示如下：

共有9种可能情况，同种方案的有3种，