王吉兴（五邑大学 信息工程学院，广东 江门 529020）

基于字典学习与图拉普拉斯矩阵的图像降噪

王吉兴
（五邑大学 信息工程学院，广东 江门 529020）

为了获得更好的图像降噪效果，本文为图拉普拉斯矩阵引入正则化项，结合一般稀疏表示降噪模型，提出一种新的图像降噪模型，模型包括数据保真项、图拉普拉斯矩阵正则化项和稀疏约束项；同时提出选取归一化的图拉普拉斯矩阵的特征向量作为字典学习的首字典.仿真实验表明：本模型有较好的降噪效果，处理图像的峰值信噪比比双边滤波（BF）和非局部均值（NLM）高，且图像呈现出更清晰的外观和细节.

图像降噪；图拉普拉斯矩阵；字典学习；稀疏表示

图像降噪[1]是基本的图像恢复问题，噪声图像的形成可以表示为：

式中， y ∈ℝn是观测信号， x ∈ℝn是原始信号， n ∈ ℝn是加性噪声.目前，已有大量的图像降噪算法，如双边滤波（Bilateral Filter，BF）[2]、非局部均值（Non-Local Means，NLM）[3]、稀疏表示等.

稀疏表示可以分为字典的生成和信号的稀疏分解.对于字典的生成，早期的学者提出了如小波字典[4]、曲波字典[5]、超完备DCT字典（Discrete Cosine Transform，DCT）等固定字典，虽然它们构造简单易实现，但也存在信号表达形式单一且不具备自适应性的劣势.为了提高字典的自适应能力，文献[6]提出了适用于不同图像数据的学习字典方法，文献[7]提出将图的拉普拉斯矩阵的特征向量作为稀疏表示的首字典，并在深度图恢复上取得了不错的效果.

图像降噪是一个欠定问题，故定义合适的图像先验至关重要.图的拉普拉斯矩阵先验子引起了研究人员的广泛关注，它假定给定的图像块在图信号域是平滑的.于是，文献[8]将图拉普拉斯矩阵作为平滑算子，提出了图正则化的稀疏编码，并在图像分类和聚类方面验证了算法的有效性；文献[9]用非局部自相似像素块的梯度估计导出了基于图滤波的边缘权重，并定义了图的拉普拉斯矩阵.本文为图拉普拉斯矩阵引入正则化项，结合一般稀疏表示降噪模型，提出了一种新的图像降噪模型；同时，为了提高字典的自适应能力，在字典学习时选取归一化的图的拉普拉斯矩阵的特征向量作为首字典，并用仿真实验验证模型的有效性.

1 稀疏表示和图拉普拉斯矩阵

1.1 稀疏表示

信号的稀疏表示如下：

式中，观测信号 Y =[y1, y2,…,ym]分解为字典 D = [d1, d2,…,dp]与稀疏系数 U = [u1, u2,…,up]T的乘积（系数U每列的大部分元素为0）.

稀疏表示包括两个迭代过程：稀疏编码和字典学习.首先给定字典D，求解观测信号Y在D上的稀疏表示系数U；然后固定稀疏系数U，更新字典D.稀疏编码的目标是寻找到系数矩阵U，字典学习的任务是找到重构信号的字典.

一般稀疏表示降噪模型可以表示为：

式中，给定p个原子组成的字典 D ∈ℝn×p，信号 Y ∈ℝn×m可以表示成这些原子的线性组合；矩阵U∈ℝp× m是信号Y的稀疏系数矩阵，其中， u ∈ℝp是U的列向量；参数λ权衡数据保真项和稀疏约束项.

1.2 图的拉普拉斯矩阵

给定n个顶点的图，那么图的拉普拉斯矩阵 L ∈ℝn×n定义为：

式中， P ∈ℝn×n和 A ∈ℝn×n分别是度矩阵和邻接矩阵.

图1 5个顶点的图

图1为含5个顶点的图，其拉普拉斯矩阵的构造如下：

其中，度矩阵P反映与当前顶点连接的点的个数；邻接矩阵A反映当前顶点与其余点的连接情况，若相连接则值为1，否则为0.

图的拉普拉斯矩阵从二维空间描述了点与点之间的关系.文献[9]用非局部自相似像素块的梯度估计导出了基于图滤波的边缘权重，结合图像像素点的二维坐标从三维空间重新定义了图的拉普拉斯矩阵，下面是计算边缘权重时选取的特征函数

式中，上标D表示离散；1 ≤ i ≤ M，M是图像块中的像素个数是像素的协方差，K是类中相似图像块的数目，是像素点i水平和垂直两个方向上梯度方差的平均； σ 和gα是常数，分别取为 1 06和 1 0-12；(xi， yi)是像素点i的横纵坐标；z是类的梯度和.

2 图正则化的图像降噪模型和算法

2.1 图像降噪模型

图像降噪时定义合适的图像先验至关重要，文献[9]结合图像像素点的二维坐标从三维空间重新定义图的拉普拉斯矩阵L，其模型如下：

本文为图拉普拉斯矩阵引入正则化项，结合一般稀疏表示降噪模型，提出一种新的图像降噪模型：

式中， y ∈ℝn是观测信号， x ∈ℝn是原始信号， u ∈ℝp是稀疏系数， D ∈ℝn×p是字典，L是归一化的图的拉普拉斯矩阵； λ1, λ2是权衡数据保真项、图拉普拉斯矩阵正则化项和稀疏约束项的权重参数.式（8）包括数据保真项、图拉普拉斯矩阵正则化项、稀疏约束项.数据保真项衡量观测信号与原始信号的相似程度，图拉普拉斯矩阵正则化项正则化原始信号，稀疏约束项约束稀疏系数以确保系数的稀疏性.

本文中，假定相似梯度像素块在一幅图像中是重复的（与NLM中图像自相似假设一样），基于图滤波的边缘权重可以由K块非局部相似像素块的梯度估计导出，那么，图拉普拉斯矩阵正则化取决于K个梯度估计.与BF相比，本文模型也是一个局部滤波器，但K个非局部相似块导出了更加鲁棒的权重.与NLM不同的是，本文单个像素的滤波可以局部地通过相邻像素完成，并且局部亮度特性可以保留（假定一幅图像局部像素块中的像素有相似亮度特性）.

2.2 图正则化的图像降噪算法

式（8）为本文提出的图像降噪模型，其求解算法如下：

1）输入含噪的灰度图像y

2）fori=1 to iter do

3）双边滤波

4）块的聚类（使用block-matching）

5）计算图的拉普拉斯矩阵L： L = P-1/2(P- A ) P-1/2；选取归一化图拉普拉斯矩阵的特征向量作为字典学习的首字典 ( D0)

8）图像更新

9）end

10）输出D,u

3 仿真实验

为了验证本文算法的有效性，从最常用的图像处理国际标准测试图像中取像素为512×512的图像4幅（分别为Hill、Airplane、Fingerprint和Lena），并分别添加标准差(σ)10～30的加性白高斯噪声.表1比较了BF、NLM和本文方法的图像降噪效果.

式中， x*（i, j）,x（ i, j）分别是重建图像和未加噪声图像； J , N是灰度图像的尺寸；PSNR的单位是dB，图像质量的好坏由PSNR值反映，其值越大图像质量越好，反之则越差.

表1 三种算法对4幅图像降噪的效果对比

由表1可见：1）同等条件下，本文算法可以取得最大的峰值信噪比，即本文算法降噪效果最好，BF降噪效果最差；2）加入噪声标准差从10增加到30，3种方法处理4个图像的降噪效果都变差了，其中BF的降噪效果随加入噪声的增大降低最多.

图2给出了4幅图像在噪声标准差为30时的降噪效果.由图2可以看出：本文提出的模型降噪效果最好，降噪后的图像更清晰，其整体轮廓恢复得更加分明；NLM可以恢复出比较清晰的图像，但边缘不够突出；BF不能完全去除噪声，降噪后的图像存在明显的噪声，如Hill的房子区域、Airplane的机体区域和Lena的脸部区域.

图2 三种算法的图像降噪效果图

4 结论

本文为图拉普拉斯矩阵引入正则化项，结合一般稀疏表示降噪模型，提出一种新的图像降噪模型.仿真实验表明：本模型有较好的降噪效果，处理图像的峰值信噪比比BF和NLM高，且图像呈现出更清晰的外观和细节.灰度图像是本文研究的对象，而生活中普遍存在的是RGB图像，故将模型应用于彩色图像降噪具有很重要的现实意义.彩色图像与灰度图像最大的不同是有三个通道，所以处理彩色图像最大的挑战是对三通道的处理，在三通道内直接处理，或是转换到其他空间处理后再转换回三通道，这些都是值得考虑的问题.

[1]MILANFAR P.A tour of modern image filtering[J].IEEE Signal Processing Magazine，2013,30(1):106-128.

[2]TOMASI C,MANDUCHI R.Bilateral filtering for gray and color images[C]//Proceedings of the Sixth International Conference on Computer Vision.Bonbay:IEEE,1998:839-846.

[3]BUADES A,COLL B,MOREL J M.A non-local algorithm for image denoising[C]//2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition:Volume 2.[S.l.]:IEEE,2005:60-65.

[4]FREEMAN W T,ADELSON E H.The Design and use of steerable filters[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis&Machine Intelligence,1991,13(9):891-906.

[5]CANDES E J，DONOHO D L.Recovering edges in Ill-posed inverse problems:optimality of curvelet frames[J].Annals of Statistics,2000,30(3):784-842.

[6]OLSHAUSER B A，FIELD D J.Emergence of simple-cell receptive field properties by learning a sparse code for natural images[J].Nature,1996,381(6583):607-609.

[7]HU Wei，LI Xin，CHEUNG G，et al.Depth map denoising using graph-based transform and group sparsity [C]//Multimedia Signal Processing，2013 IEEE 15th International Workshop on.Pula:IEEE,2013:1-6.

[8]ZHENG Miao,BU Jiajun,CHEN Chun,et al.Graph regularized sparse coding for image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing,2011,20(5):1327-1336.

[9]PANG Jiahao,CHEUNG G,ORTEGA A,et al.Optimal graph laplacian regularization for natural image denoising[C]//2015 IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing.South Brisbane:IEEE,2015:2294-2298.

[责任编辑：熊玉涛]

Image Denoising Based on Dictionary Learning and the Graph Laplacian Matrix

WANG Ji-xing
(School of Information Engineering,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

In order to achieve better image denoising,a new model is proposed by introducing the graph Laplacian matrix into the regularization term and combining it with the general sparse representation denoising model.The modelconsists of the data fidelity term,the graph Laplacian matrix regularization termand the sparse constraint term.Also,this paper proposes choosing the eigenvectors of the normalized graph Laplacian matrix as the initial dictionary.The experimental results show that the proposed model achieves good denoising performance,it gains higher PSNR than BF and NLM,and exhibiting clearer appearance and details.

image denoising;the graph Laplacian matrix;dictionary learning;sparse representation

TN911

A

1006-7302（2016）03-0061-06

2016-03-09

王吉兴（1990—），男，湖北武汉人，在读硕士生，主要从事图像降噪、图像分类算法的研究.