孙 欣, 马思佳, 李铭辉

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



解析几何课程中求四面体体积新方法探究

孙 欣, 马思佳, 李铭辉

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

对数学类专业开设的解析几何课程教材中求以不共面的4个点为顶点组成的四面体体积问题进行了研究。教材只给出了从四面体一个顶点出发的3个不共面向量求其混合积求体积的方法。事实上,只要从4个顶点中任取3个不共面向量,求其混合积就可以求四面体体积,并利用2种方法证明了所得结论。最后,以一个数值算例说明所用方法的正确性与有效性,对教材内容进行了深化与拓展。

四面体体积; 《解析几何》课程; 向量混合积

0 引 言

求四面体体积问题,一直是数学类问题研究的热点。文献[1-4]利用6条棱长给出四面体体积计算公式;文献[5-6]利用四面体由一个顶点出发的3条棱长及其中每2条棱的夹角求体积;文献[7-8]利用4个顶点坐标,形成由1个顶点出发的3条不共面向量,以行列式的形式给出四面体体积计算公式。文献[9]计算从1个顶点出发的3个向量混合积,求其绝对值再除以6,这样的3个向量共点却不共面,取法共有4种。事实上,不共面的3个向量除了这4种外,还有12种,即2个向量共点而第3个向量与2个向量既不共点也不共面,只要计算出3个向量混合积的绝对值再除以6就等于四面体体积。本文将用2种方法证明这16种不共面3个向量的混合积的绝对值都相等,等于已知四面体体积的6倍,由此给出求四面体体积的新方法。

1 问题的形成

图1 四面体A-BCDFig.1 Tetrahedron A-BCD

下面用2种方法证明这16种不共面的3个向量的混合积的绝对值都相等,等于以这3个向量为棱组成的四面体体积的6倍。

2 利用向量内积、外积法证明不共面3个向量的混合积绝对值相等

分别考虑2种情况证明不共面3个向量的混合积绝对值相等。

1) 情况Ⅱ 3个向量共点

同理,从B、C、D点分别出发的3组3个向量的混合积的绝对值分别等于四面体B-ACD、C-ABD、D-ABC体积的6倍,即等于四面体ABCD体积的6倍。即

2) 情况Ⅲ 2向量共点,第3个向量与2向量既不共点也不共面

图2 四面体D-ABCFig.2 Tetrahedron D-ABC

其他组3个向量有

综上可知,情况Ⅲ的12组不共面的3个向量的混合积的绝对值都相等,等于四面体A-BCD体积的6倍。

3 利用行列式法证明不共面3个向量的混合积绝对值相等

设四面体A-BCD的顶点坐标分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),利用点的坐标计算3个向量混合积。分别考虑如下2种情况:

情况Ⅱ 3个向量共点

由向量混合积的几何意义知,从四面体任意一个顶点出发的3个向量的混合积的绝对值都等于四面体体积的6倍。这样的3个向量有4组,它们的混合积分别为

情况Ⅲ 2个向量共点,第3个向量与这2个向量既不共点又不共面,它们的混合积分别为

其中ri+krj表示第j行的k倍加到第i行上,i,j=1,2,3。

其中ri↔rj表示将第i行与第j行对调,i,j=1,2,3。

综上,情况Ⅲ中2种不共面3个向量的混合积的绝对值都相等,等于四面体A-BCD体积的6倍。至此,16种不共面的3个向量的混合积绝对值都相等且等于四面体体积的6倍,证毕。

4 数值算例[9]

已知四面体A-BCD顶点A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),求它的体积。

可以看出,3个向量混合积的绝对值为6,当3个向量依次顺序构成右手系时,混合积为正,值为6;当3个向量依次顺序构成左手系时,混合积为负,值为-6。根据向量混合积的几何意义,可以得到四面体ABCD的体积为1。可以看出,计算四面体体积,只需利用不共面的3个向量求其混合积即可得到,而非只能利用从1个顶点出发的不共面3个向量求混合积得到,本文提出的方法使用条件更宽泛。

5 结 语

本文研究了由不共面四点坐标,利用向量混合积求四面体体积的问题。提出了一种新的简单易行的求四面体体积方法,即利用四点构成不共面的3个向量,求其混合积,取绝对值除以6,得到四面体体积。本文的方法简洁、高效,对求四面体体积具有实效性和普遍性。

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[9]吕林根,许子道. 解析几何[M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2014:57.

A new method of computing the volume of a tetrahedron in analytic geometry course

SU NXin, MA Sijia, LI Minghui

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang110034, China)

This paper focuses on the problem of computing the volume of a tetrahedron in virtue of four vertexes not on the same plane in analytic geometry course for mathematics. The textbook only introduces that the volume of a tetrahedron is obtained by mixed product of three vectors which are emitted from one vertex and not on the same plane. However, the limited condition can be relaxed, that is, the volume of a tetrahedron can be obtained if the three vectors composed of four vertexes are not on the same plane, which is addressed in this paper. Two methods are adopted to prove the conclusion. Furthermore, a numerical example is presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method and the results of textbook are deepended and widened in this paper.

the volume of a tetrahedron; analytic geometry course; mixed product of vectors

2016-02-23。

国家自然科学基金资助项目(61374043); 辽宁省科技厅自然科学基金资助项目(2014020121)。

孙 欣(1972-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学副教授,博士。

1673-5862(2016)03-0338-05

G434

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.018