孙建刚， 郝进锋， 刘　扬， 王　振， 崔利富

(1.大连民族大学 土木工程学院,辽宁　大连　116600； 2.兰州理工大学 土木建筑工程学院,兰州　730050；3.东北石油大学 土木建筑工程学院,黑龙江　大庆　163318)

考虑摆动效应的立式储罐隔震分析简化力学模型

孙建刚1,2， 郝进锋3， 刘扬3， 王振1， 崔利富1

(1.大连民族大学 土木工程学院,辽宁大连116600； 2.兰州理工大学 土木建筑工程学院,兰州730050；3.东北石油大学 土木建筑工程学院,黑龙江大庆163318)

对于基础隔震大型立式储罐的地震响应分析问题，考虑土壤与结构的相互作用和储罐的摆动效应，从流体速度势理论出发，结合储罐储液与罐壁的边界条件，建立液体运动势函数和相应的基底剪力、倾覆力矩及波高的理论表达式；并依据剪力和弯矩等效的原理，建立了具有摆动效应的基础隔震储罐的力学简化模型，利用能量原理建立了考虑摆动效应的立式储罐隔震体系的运动方程。同时，以15万m3大型储罐为例，进行了减震效应数值计算分析，并与无摆动效应的隔震体系的简化力学模型进行了比较分析。结果表明：大型储罐采用基底隔震装置，可以有效地降低储罐的基底剪力，对液体晃动波高的控制效果较差，建议在高烈度区，满足晃动波高的前提下，储罐上部结构可以降低烈度进行设计。

储罐; 摆动; 隔震; 地震响应

储罐震害调查表明：储罐在地震中常出现“象足”式破坏、底角焊缝撕裂、储液泄漏、甚至造成火灾、爆炸和环境污染等[1-3]，为降低储罐的地震响应，储罐基础可采用隔震措施。储罐抗震及隔震设计时，一般将罐体液体分为与罐壁一起运动的刚性脉冲质量、罐壁与液体的液固耦合质量和液体晃动质量三部分，仅考虑上述三质点的水平运动，而不考虑罐体的摆动效应，建立体系的力学运动方程，由此进行储罐的隔震设计。但是工程中，储罐在地震作用下，储液、基础、地基、隔震装置和罐体等作为一个整体系统而随地震波一起运动，除了水平运动外，储罐系统还可能产生摆动。鉴于此，本文主要考虑储罐的摆动效应，依据速度势理论，建立基础隔震的大型立式储罐的简化力学模型和运动方程；选取15万m3立式储罐，采用时程分析方法研究大型储罐地震作用下的隔震效果，并与不考虑摆动效应的基础隔震储罐进行对比分析。

1基本假定

图1　储罐几何坐标系统Fig.1 Geometric coordinate system of tank

2浮顶储罐的速度势

根据上述假定和流体力学知识，储液的速度势Φ(r,θ,z,t)应满足如下的Laplace方程和边界条件：

(1)

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

Φ(r,θ,z,t)=φ1(r,θ,z,t)+

φ2(r,θ,z,t)+φ3(r,θ,z,t)

(3)

2.1刚性速度势φ1(r,θ,z,t)

(4)

2.2液固耦联速度势φ2(r,θ,z,t)

立式钢制储罐在振动中，可将罐壁简化为梁式结构进行简化分析[3]。在侧向力作用下，梁式结构只能激发梁式振型，而不会出现环向振型。由储罐产生的弹性变形w(z,t)cosθ引发的速度势φ2(r,θ,z,t)应满足Laplace方程式(1)；采用分离变量法，利用边界条件式(2)，把φ2(r,θ,z,t)表示为：

图2　kn随n的变化趋势Fig.2Variation trend of kn-n

2.3对流晃动速度势φ3(r,θ,z,t)

一般情况下，地震的卓越周期比储液晃动的自振周期小很多，研究对流晃动时，可近似地认为地面运动为脉冲形式，从而可以忽略表面重力波的影响；但是，当地震波谱中长周期成分占有很大优势时，则不能忽略表面波的影响；此外，采用基础隔震体系后，结构基本周期延长，此时也不能忽略表面波的影响，否则将引起较大的误差。对流晃动速度势φ3(r,θ,z,t)是由于在φ1(r,θ,z,t)和φ2(r,θ,z,t)作用下压力不平衡产生的速度势，根据Laplace方程，采用分离变量法，利用边界条件可得：

φ3(r,θ,z,t)=

(6)

则总速度势：

(7)

由总速度势Φ所产生的储液中任意一点的动液压力满足线性Bernoulli方程，从而可以得到作用于罐侧壁(即r=R)上的动液压力为：

(8)

作用在浮顶上的动水压力：

(9)

储液的晃动波高：

(10)

3简化力学模型及运动方程建立

为建立浮顶储罐隔震分析的简化分析力学模型，首先研究在外激励作用下罐壁和底板上所作用的剪力和弯矩。当有外激励时，基础隔震立式储罐的基底剪力就是作用于罐侧壁上沿罐壁高度的动液压力的合力，可以通过对罐壁的动液压力进行积分确定[14]：

(11)

作用于罐壁侧板上的动液压力产生的倾覆力矩，可表达为：

(12)

根据储液系统的动能与等效质点的动能相等的原则，将罐壁运动w(t)转化为液固耦合质点的运动，即：

(13)

式中：

ML=ρLπR2H，β1=1，

β7=

(14)

式(14)和式(15)可以简化为如图3所示的简化力学模型。内部液体简化为对流质量mc、脉冲液固耦联质量mi和刚性质量m0的三质点模型；对流质量和液固耦合质量通过等效弹簧与储罐罐体相连接，等效弹簧的刚度分别为kc、ki，阻尼常数分别为cc、ci；刚性质量随罐壁一起运动。地基简化为具有刚度kα和阻尼cα的转动弹簧。隔震装置刚度和阻尼分别为k0和c0。mb1和mb2分别为隔震层的上下垫梁的质量。基础滑移位移、液固耦联位移、对流晃动位移、地面运动位移分别用x0(t)、xi(t)、xc(t)和xg(t)表示。

图3　考虑转动的基础隔震浮顶储罐简化力学模型Fig.3 Mechanics model of floating roof base isolation tank with the rotation

图3中晃动刚度由浮顶板的振动方程确定，忽略阻尼项的影响[4]，由浮顶板的振动与液体晃动的协调关系，可得：

(16)

图3中的k0，c0为隔震层的刚度和阻尼，可由工程设计的隔震周期按单质点体系确定。一般在隔震装置中加入高阻尼材料，隔震层的阻尼比ζ0可取0.1～0.3。

地基运动可简化为平动和摆动两种运动，其水平刚度kH和阻尼cH，转动刚度kα和阻尼cα等参数按文献[6]确定：

由文献[6]可知，场地土类别不同，场地的剪切波速也不相同。关于大于9度地区的石油化工钢制设备抗震设计，由于缺乏相关地震资料和数据，结合储罐设备的特点，不考虑土的塑性变形，仍按现行规范进行理论分析；对于座落在不同场地土上的大型储罐，其储罐的地震响应可以按照现行的抗震规范确定，主要有与场地土的特征周期有关；若按照时程分析时，可以考虑场地土的水平刚度kH和阻尼cH，转动刚度kα和阻尼cα随着场地土的剪切波速而变化，这也反映了场地土对储罐地震响应的影响。

从图3的力学模型中，各质量点的质量和高度等参数随着储罐径高比R/H的变化曲线见图4和图5。

图4　各质量点随径高比的变化Fig.4 Quality varies with the ratio of D/H

图5　各质量点高度随径高比的变化Fig.5 Quality varies with the ratio of D/H

从图4和图5中可见，各质点参数的变化仅与D/H相关，当径高比加大时晃动质点和刚性质点的质量减小，液固耦联质点的质量增加，这说明：当储罐为矮胖罐时，短周期的液固耦联振动项占主导作用；对于细高罐，晃动冲击项的惯性作用较大。等效质点的高度随径高比的加大而降低，但是当径高比D/H大于3.0时，液固耦合质点的高度变化不大，趋近于0.45H，这也和我国及日本、美国等有关储罐地震基底弯矩计算时，脉冲压力作用的中心高度取液体深度的0.45倍是一致的。

针对简化分析力学模型，将其视为线性隔震系统时，利用Hamilton原理得出体系相应的运动方程：

(17)

4数值分析

4.1基本参数

以15万m3储罐为例，研究储罐的隔震效果。15万m3储罐的基本参数：储罐直径D=96.0 m，罐壁高度L=22.8 m，储液高度H=21.0 m，底圈壁板厚度t1=40.0 mm，罐底边缘板厚度tb=23.0 mm，钢材采用日本生产的SPV490。基础隔震装置按隔震周期T=3 s进行考虑，隔震装置的阻尼比取ξ0=0.1。

地基土壤天然密度统一取1 700 kg/m3，土壤泊松比ν=0.3。不同场地土的剪切波速取自文献[5]，按照推荐的剪切波速值的平均值确定，具体数值见表1。

表1　　建筑场地的剪切波速

4.2自振特性

利用式(17)的质量阵和刚度阵，由特征方程即可得到考虑摆动效应的储罐结构的自振周期，并与文献[4]中不考虑摆动效应的储罐的自振周期和石油化工钢制设备抗震设计规范(GB50761-2012，以下简称规范GB50761)计算结果进行对比分析，具体结果见表2。

表2　　15万m3储罐自振周期

由表2 可知，隔震储罐的液固耦合周期较非隔震储罐的液固耦合周期明显拉长，由0.562 s～0.801 s拉长到1.581 s～1.599 s(周期拉长了1.996倍～2.833倍)，即对应于地震加速度反应谱曲线由高峰平台段向右移动到衰减下降段，地震影响系数的降低而使储罐的水平地震作用随之降低；隔震储罐的晃动周期与非隔震储罐的晃动周期相接近，变化幅度在3.16%以内，也就是说隔震装置对控制液体晃动波高效果较差。

规范算法计算结果与非隔震储罐进行对比分析可知：① 液固耦合周期对比分析，规范算法所得结果与本文及文献[4]所计算的Ⅰ类场地、Ⅱ类场地、Ⅲ类场地上非隔震储罐的计算结果相接近，而与Ⅳ场地上非隔震储罐的计算结果差异较大，误差达到43.8%，这可能是与储罐对建造场地要求较高而规范主要考虑坚硬场地土有关，建议储罐设计时，液固耦合周期应考虑场地土的影响；② 液体晃动周期对比分析，规范算法所得的晃动周期与考虑摆动效应的非隔震储罐计算结果非常接近，误差在0.3%以下，而与不考虑摆动效益的非隔震储罐的晃动周期差异较大，误差达到18%，这说明规范给出的计算自振特性的公式是考虑储罐的摆动效应，建议在储罐的抗震设计中，除考虑储罐的平动外，还应考虑储罐的摆动效应。

场地土类别对于隔震储罐的自振特性影响较小，这主要是因为隔震装置较柔，隔震储罐的振动主要集中在隔震层位置；但是场地土类别对于非隔震储罐的液固耦合周期影响较大，特别是在Ⅳ场地土上储罐的液固耦合周期明显增大，且与规范GB50761算法所得结果相差43.8%，所以对于非隔震储罐的液固耦合周期应考虑场地土的影响。

4.3地震响应

鉴于反应谱理论只反映了地震动的振幅(地震影响系数最大值)和频谱(周期、振型等)两个要素，始终不能反映地震动持续时间对结构破坏程度的重要影响。为有效地反映地震动输入过程中储罐结构各个时刻的地震响应，本文利用Matlab编写程序，每类场地分别输入三条不同地震波，考虑Ⅸ度设防烈度，计算用地震波加速度峰值取0.4 g，采用Wilson-θ法进行时程分析，得出储罐在四类不同地震波(或场地)作用下的基底剪力和晃动波高等地震响应。因基底弯矩响应时程曲线与基底剪力响应时程曲线基本一致，为节省篇幅，本文仅给出了15万m3储罐在考虑摆动时，在金门地震波(Ⅰ类场地)、外交公寓地震波(Ⅱ类场地)、El Centro地震波(Ⅲ类场地)和Pasadena地震波(Ⅳ类场地)作用下的基底剪力和晃动波高的时程曲线，其地震响应时程曲线见图6；在其它地震波作用下，储罐的基底剪力、基底弯矩和晃动波高等地震响应的最大值见表3。

图6　15万m3储罐地震响应时程曲线(考虑摆动)Fig.6 Earthquake response time curves of 150 000 m3 tank(Swing)

计算内容场地类别地震波Ⅰ类场地金门Mendocino帝王谷Ⅱ类场地外交公寓CedarhillNorthridge忽略摆动影响非隔震8.5317×1071.0332×1082.6895×1074.9684×1081.1378×1082.8566×107基底剪力Q/N隔震1.7827×1074.1106×1071.6294×1081.0639×1081.2659×1072.3541×108减震率%79.1060.2183.4978.5988.8787.87非隔震8.0525×1081.0142×1092.4069×1084.6694×1091.1522×1092.4043×108基底弯矩M/(N·m)隔震2.0021×1083.7549×1081.5433×1099.1590×1081.4427×1082.2520×109减震率%75.1462.9884.4080.3887.4889.32非隔震0.3130.2830.5680.3640.0170.164晃动波高hv/m隔震0.2910.2670.6090.3790.0070.163减震率%7.035.8276.628-4.1258.680-0.735考虑摆动影响非隔震8.6909×1071.0452×1082.6530×1075.0113×1081.1235×1082.9451×107基底剪力Q/N隔震1.7087×1074.1054×1071.6545×1081.0946×1081.2698×1072.3566×108减震率%80.3460.7283.9778.1688.7087.50非隔震8.2472×1081.0298×1092.3528×1084.7275×1091.1452×1092.4852×108基底弯矩M/(N·m)隔震1.9616×1083.7447×1081.5737×1099.5145×1081.4520×1082.2744×109减震率%76.7263.6485.0579.8787.3289.07非隔震0.1900.1880.3640.1830.0120.105晃动波高hv/m隔震0.1870.1800.3810.2640.0050.107减震率%1.584.4804.612-44.2660.8391.383考虑和忽略摆动影响的对比分析基底剪力误差%非隔震1.871.16-1.360.86-1.263.10隔震-4.15-0.131.542.890.310.11基底弯矩误差%非隔震2.421.54-2.251.24-0.613.36隔震-2.02-0.271.973.880.640.99晃动波高误差%非隔震-39.30-33.57-35.92-49.73-29.41-35.98隔震-35.74-32.58-37.44-30.34-28.57-34.36计算内容场地类别地震波Ⅲ类场地ElCentro波CanogaparkElMonteⅣ类场地Pasadena波金银岛天津波忽略摆动影响非隔震3.3520×1083.2307×1084.9684×1083.7407×1082.7453×1081.9703×108基底剪力Q/N隔震5.6997×1077.0799×1071.0639×1081.9702×1081.7254×1084.1095×107减震率%83.0078.0978.5947.3337.1579.14非隔震3.3074×1093.0795×1094.6694×1093.3622×1092.4128×1091.9779×109基底弯矩M/(N·m)隔震4.8453×1086.0141×1089.1590×1081.6650×1091.4581×1093.6941×108减震率%85.3580.4780.3850.4839.5781.32非隔震0.8960.3950.3640.8470.2950.168晃动波高hv/m隔震0.8950.4530.3790.7400.4150.160减震率%0.11-14.815-4.1212.633-40.5104.551考虑摆动影响非隔震3.3013×1083.2141×1085.0113×1083.6773×1082.7546×1081.9543×108基底剪力Q/N隔震5.9941×1077.5554×1071.0946×1082.0443×1081.7536×1084.1990×107减震率%81.8476.4978.1644.4136.3478.51非隔震3.2910×1093.0989×1094.7275×1093.3666×1092.4641×1091.9909×109基底弯矩M/(N·m)隔震5.2198×1086.4849×1089.5145×1081.7575×1091.5036×1093.8347×108减震率%84.1479.0779.8747.8038.9880.74非隔震0.6080.2900.1830.3850.1980.112晃动波高hv/m隔震0.6020.3010.2640.4630.2800.117减震率%0.99-3.848-44.26-20.079-41.892-4.667考虑和忽略摆动影响的对比分析基底剪力误差%非隔震-1.51-0.510.86-1.690.34-0.81隔震5.176.722.893.761.632.18基底弯矩误差%非隔震-0.500.631.240.132.130.66隔震7.737.833.885.563.123.81晃动波高误差%非隔震-32.14-26.58-49.73-54.55-32.88-33.33隔震-32.74-33.55-30.34-37.43-32.53-26.88

由表3和图6分析可知，不同地震波输入下(或不同场地上)的隔震储罐的减震效果不同。采取隔震措施后，基底剪力的减震效果明显，而波高的控制效果较差，甚至有放大波高的效应。

由图6和表3可以看出，采取隔震措施后，对于四种不同种类场地土地震波输入时，储罐基底剪力和基底弯矩的隔震效果明显；由表3计算结果可知：隔震后基底剪力和基底弯矩与隔震前的基底剪力和基底弯矩相比，在坚硬场地土(Ⅰ类场地、Ⅱ类场地、Ⅲ类场地)上的减震效果明显好于软弱场地IV类场地)土的减震效果，其减震率达62%以上；对于Ⅳ类场地(软土)土，隔震储罐的基底剪力和基底弯矩的也有明显的减震效果，其减震率也可以达到40%以上。

由表3时程分析计算结果可知，储罐的基底剪力在考虑地基基础摆动和不考虑地基基础摆动两种情况下，基底剪力最大误差在7.62%，基底弯矩的最大误差在7.83%，基本可以满足工程设计的要求，所以在基底剪力和基底弯矩计算时，可以不考虑基础摆动的影响；但是对液体的晃动波高来说，考虑摆动影响比不考虑摆动影响时，最大晃动波高一般相差较大，最大晃动波高相差20%～55%，这也与文献[13]中给出的波高计算公式考虑长周期反应谱调整系数影响相一致，建议储罐设计时，应考虑储罐的摆动影响。

对于晃动波高的减震效果分析，不同场地土上隔震储罐的减震效果差异较大，有时隔震对晃动波高有放大效应。在外交公寓地震波(Ⅱ类场地)和金银岛地震波(Ⅳ类场地)作用下，基础隔震储罐的晃动波高较非隔震储罐的晃动响应明显增加，隔震后晃动波高较隔震前的晃动波高增加了40%以上；而其他地震波作用时，基础隔震储罐的晃动波高与非隔震储罐的晃动波高相比变化不大。

总之，隔震储罐比传统非隔震储罐的基底剪力明显降低，由结构抗震知识可知，当隔震后减震率在75%时，相当于抗震烈度降低2度，当隔震后减震率在50%时，相当于抗震烈度降低1度。综上分析，建议在高烈度地区建造储罐保证液体晃动波高的要求下，可以采用基础隔震，采用降烈度设计。

5结论

(1) 依据速度势理论，考虑地基土壤与结构的相互作用及其储罐摆动效应的影响，建立了考虑摆动效应的基础隔震立式储罐的地震响应分析简化力学模型。

(2) 考虑摆动影响的非隔震储罐液体晃动周期与规范计算结果吻合程度较好，说明规范GB50761给出的公式考虑了储罐摆动的影响，但是没有考虑场地土类别的影响；场地土类型对储罐的液固耦合周期影响较大，建议在储罐抗震设计中，应考虑不同场地土类别的影响。

(3) 采用基础隔震后，液固耦合周期较非隔震储罐的自振周期明显增长，而隔震前与隔震后的液体晃动周期相比变化不大。

(4) 时程分析结果表明，隔震可有效地降低储罐的基底剪力，且隔震储罐在坚硬场地上的减震效果好于软弱场地上的减震效果，在工程设计中可以采用降烈度设计，一般坚硬场地土的隔震储罐的地震作用可以按降低1度～2度考虑，软弱场地土上的隔震储罐的地震作用可以按降低0.5度～1度设计。

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Simplified mechanical model for vibration isolation analysis of a vertical storage tank considering swinging effect

SUN Jian-gang1,2, HAO Jin-feng3, LIU Yang3, WANG Zhen1, CUI Li-fu1

(1. College of Civil Engineering, Dalian Nationalities University, Dalian 116600, China;2. College of Civil & Architecture Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China; 3. College of Civil & Architecture Engineering, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China)

For seismic response analysis of large vertical storage tanks with base isolation, the interaction of soil and structure and the swinging effect of storage tank were considered. Starting from the theory of fluid velocity potential, the boundary conditions of storage tank, storage liquid and tank wall were combined, liquid movement potential function and the corresponding theoretical expressions of base shear, overturning moment and wave height were established. According to the equivalent principle of shear and moment, the simplified mechanical model of a base-isolated tank with swinging effect was established, the motion equation of a vertical storage tank vibration isolation system considering swinging effect was established using the energy principle. At the same time, taking a 15 000 m3large scale storage tank as an example, the vibration isolation effect numerical analysis was performed, and the comparative analysis between the simplified mechanical model of the system and that of the same system without swinging effect was conducted. The results showed that the large scale storage tank with based isolated device can effectively reduce the base shear of the storage tank, it has a poor control effect on liquid sloshing wave height; in a high intensity earthquake area, in the promise of meeting the requirement of sloshing wave height, the upper structure of the storage tank can be designed on the basis of reducing the earthquake intensity.

storage tank; swinging; isolation; seismic response

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.004

国家自然科学基金项目(51478090)；中央财政自主基金(DC201502040403)

2015-03-16修改稿收到日期：2015-05-25

孙建刚 男，博士，教授，1959年4月生

崔利富 男，博士，讲师，1982年3月生

TU352.1；TU473.1

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