代彦宾，李建华，邓四二，杨虎

（1.河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 471003；2.洛阳轴研科技股份有限公司，河南 洛阳 471039）

控制力矩陀螺的高速转子系统是航天飞行器进行姿态控制的重要结构，转子高速运转引起的振动直接影响着飞行器姿态控制的精确性和稳定性。国内外学者在转子的临界转速和轴向振动方面开展了许多研究。文献［1-2］采用试验的方法研究了轴承预紧力、安装跨距对转子系统固有频率的影响，并将试验数据进行拟合，得到轴承预紧力、安装跨距与转子固有频率的关系式；文献［3］采用有限元法对轴承在不同预紧力下的主轴-轴承系统进行了模态和谐响应分析，结果表明：随预紧力的增加，系统固有频率逐渐增大，主轴两端径向位移响应减小，中间径向位移响应增大；文献［4］以主轴-轴承系统为对象，考虑了陀螺效应，将转子简化为多段Timoshenko梁，并用数值方法计算了转子系统的径向振动响应。文献［5］对比分析了转子组件在悬臂和双支承2种结构下的临界转速和振动特性，提出了悬臂支承转子主轴根部更容易发生断裂；文献［6］以轴承-转子系统为研究对象，研究了滚动轴承在静载荷及不平衡载荷激励作用下，其刚度的变化规律，并计算了时变轴承刚度作用下的转子时域振动响应及频域特征；文献［7］研究了轴承接触角对轴承刚度和转子系统径向振动的影响，证明接触角对转子振动的影响较大；文献［8-10］分析了刚性支承转子横向振动与轴向振动的关系，并得出不平衡转子横向振动会引起轴向振动的结论；文献［11-12］从控制力矩陀螺高速转子的零件波纹度和转子结构2方面分析了转子产生轴向振动的原因。但以上关于转子轴向振动的分析没有考虑轴承轴向刚度的影响，鉴于此，基于转子动力学和谐响应分析理论，考虑轴承轴向刚度的影响，采用有限元法对控制力矩陀螺高速转子的1阶临界转速和轴向振动进行分析。

1 高速转子结构及研究方法

1.1 高速转子结构分析

控制力矩陀螺高速转子主要由一对背对背安装的角接触球轴承支承的旋转质量本体及相关结构组成，如图1所示，加载螺母通过压紧加载压盖为轴承提供预紧力；θ为旋转质量本体辐板倾斜角；主要结构参数见表1。

图1 高速转子结构示意图Fig.1 Structure diagram of high-speed rotor

表1 主要结构参数Tab.1 Main structural parameters

1.2 转子动力学理论基础

当高速转子转动时，转子上的点会在一个轨道上不规则波动运动，称为涡动（进动），涡动的方向与转速一致时称为正进动，反之为负进动。当转子做正进动，且其转动的频率与转子固有频率相等时，转子出现共振，其转速即为该转子的临界转速。

基于转子动力学理论利用有限元法求解复杂转子系统的临界转速时具有较为突出的优点［13］。根据有限元理论，对于一个N自由度的线弹性系统，其动力学方程为

在转子动力学中，还需考虑陀螺效应，此时无外部作用力的转子系统动力学方程为

式中：M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；G为陀螺矩阵；K为刚度矩阵中的对称部分；S为刚度矩阵中的不对称部分；u为节点位移向量矩阵；u″为节点加速度向量矩阵；u′为节点速度向量矩阵；F（t）为节点载荷向量矩阵。

1.3 谐响应分析理论

转子在高速旋转时旋转质量本体会对轴承和支承结构施加稳态的、交变的作用力，这些作用力可看作简谐载荷。分析转子在简谐激励作用下的轴向振动响应时，可只考虑其稳态响应。高速转子受到简谐激励的振动方程为

式中：F（t）cos（ωt）为节点简谐激振力向量矩阵。

2 高速转子有限元分析模型

以某型控制力矩陀螺高速转子为例，建立转子1阶临界转速及轴向振动响应的有限元分析模型。将高速转子结构做如下简化：1）高速转子简化为弹性支承的旋转质量本体，弹性支承的刚度即为滚动轴承的径向和轴向刚度，轴承刚度计算方法参考文献［14］；2）忽略旋转质量本体为制造或安装方便而设计的尺寸较小的倒角；3）在轴承安装位置施加弹性支承约束，通过改变约束位置模拟轴承的安装跨距。

分析转子临界转速时考虑陀螺效应，并对转子施加一系列转速激励，通过求解不同转速下的转子固有频率获得Campbell曲线，进而得到转子的1阶临界转速。

进行转子轴向振动的谐响应分析时，对转子施加1g（g为重力加速度，下同）的轴向加速度激励。转子在加速度激励下发生振动过程中，在某一频率处会对转子振幅产生放大作用，从而对转子的性能造成很大影响，所以在设计高速转子的结构时，为保障轴承单元不受破坏，要求转子的放大因子q≤10［11］。高速转子的放大因子是指转子系统在轴向加速度为1g时，其最大加速度响应与重力加速度的比值，即q=A/9.8，其中A为转子最大加速度响应。

3 高速转子1阶临界转速及轴向振动响应分析

控制力矩陀螺高速转子的工作转速低于1阶临界转速时，可以将其视为刚性转子［13］，故仅对转子的1阶临界转速进行计算。辐板倾斜角、轴承预紧力和安装跨距对转子系统的刚度有一定的影响，转子刚度又是影响系统临界转速和轴向振动响应的主要因素，故分析上述3个因素对转子1阶临界转速和轴向振动响应的影响。

3.1 转子1阶临界转速计算结果及分析

旋转质量本体辐板倾斜角为4°、轴承预紧力为230 N、轴承安装跨距为287mm时，高速转子临界转速Campbell图如图2所示。根据Campbell图列出高速转子的固有频率及相应的临界转速，见表2。通常将转子正进动的转速作为临界转速，由表2可得高速转子在第3阶模态存在1阶临界转速，为9 169.7 r/min。

图2 高速转子Campbell临界转速图Fig.2 The Campbell critical speed of high-speed rotor

表2 高速转子固有频率及相应临界转速Tab.2 Natural frequency and relevant critical speed of high-speed rotor

轴承预紧力为230 N、安装跨距为287 mm时，辐板倾斜角对高速转子1阶临界转速的影响如图3所示。由图可知，高速转子的1阶临界转速随辐板倾斜角的增加呈先增大后减小的趋势。这是因为辐板厚度随辐板倾斜角的增加而减小，整个系统的质量也随之减小，系统固有频率增加，从而提高了高速转子的1阶临界转速。辐板倾斜角增大的同时也会降低转子系统的刚度，当辐板倾斜角增加到一定程度后，临界转速会由于系统刚度降低而下降。

图3 辐板倾斜角对高速转子1阶临界转速的影响Fig.3 Effect of plate angle on first order critical speed of high-speed rotor

旋转质量本体辐板倾斜角为4°，安装跨距为287 mm时，轴承预紧力对高速转子1阶临界转速的影响如图4所示。由图可知，高速转子的1阶临界转速随轴承预紧力的增加而增大。这是因为预紧力的增加提高了转子系统的刚度，使高速转子的1阶临界转速也增大。

图4 轴承预紧力对高速转子1阶临界转速的影响Fig.4 Effectof bearing preload on firstorder critical speed of high-speed rotor

旋转质量本体辐板倾斜角为4°，轴承预紧力为230 N时，轴承安装跨距对高速转子1阶临界转速的影响如图5所示。由图可知，高速转子的1阶临界转速随轴承安装跨距的增加而减小。这是因为轴承安装跨距增加，转子系统的径向刚度减小，高速转子的1阶临界转速也随之减小。

图5 轴承安装跨距对高速转子1阶临界转速的影响Fig.5 Effect of span on first order critical speed of highspeed rotor

综上可得，增加辐板倾斜角可提高转子的1阶临界转速，但过大的辐板倾斜角将使旋转质量本体的转动惯量大幅减小，导致控制力矩陀螺对外输出力矩不足，降低飞行器姿态控制能力；增大轴承预紧力在提高转子1阶临界转速的同时会使轴承摩擦增大、温度升高，系统灵敏度降低，因此要将轴承预紧力控制在一定范围内；减小轴承安装跨距可提高转子的1阶临界转速，但由于结构的限制，轴承安装跨距也应控制在一定的范围内。

3.2 转子轴向振动谐响应计算结果及分析

旋转质量本体辐板倾斜角为4°、轴承预紧力为230 N、加速度激励为1g时，轮缘的加速度及位移响应曲线分别如图6、图7所示。

图6 高速转子轴向振动加速度响应Fig.6 Acceleration response curve of high-speed rotor axial vibration

图7 高速转子轴向振动位移响应曲线Fig.7 Displacement response curve of high-speed rotor axial vibration

由图可知，在0～2 000 Hz的激振频率内，轮缘的最大轴向振动加速度响应为68.776 m/s2，最大轴向振动位移响应为74.608μm。此时，高速转子的放大因子为7.018。

辐板倾斜角对转子轴向振动响应的影响如图8所示。由图可知，随着辐板倾斜角的增加，高速转子的放大因子逐渐增大，轮缘的轴向振动位移响应呈先减小后增大的趋势。

图8 辐板倾斜角对高速转子轴向振动响应的影响Fig.8 Effect of plate angle on axial vibration response ofhigh-speed rotor

轴承预紧力对转子轴向振动响应的影响如图9所示。由图可知，随着轴承预紧力的增加，高速转子的放大因子逐渐增加，轮缘的轴向振动位移响应逐渐减小。

图9 轴承预紧力对高速转子轴向振动响应的影响Fig.9 Effect of bearing preload on axial vibration response of high-speed rotor

轴承安装跨距对高速转子轴向振动响应的影响如图10所示。由图可知，随着轴承安装跨距的增加，高速转子的放大因子逐渐减小，轮缘的轴向振动位移响应逐渐增大，但二者变化量均不大。

图10 轴承安装跨距对高速转子轴向振动响应的影响Fig.10 Effect of span on axial vibration response of highspeed rotor

由上述分析可知，选择合适的辐板倾斜角和轴承预紧力可以减小高速转子的放大因子以及轮缘的轴向振动位移响应，为使两者尽可能小，应在图8和图9中2条曲线相交位置附近选择辐板倾斜角和轴承预紧力。

4 结论

通过分析旋转质量本体辐板倾斜角、轴承预紧力及轴承安装跨距对高速转子1阶临界转速和轴向振动响应的影响，得出如下结论：

1）转子1阶临界转速随轴承预紧力的增加而增大，随轴承安装跨距的增加而减小，随旋转质量本体辐板倾斜角的增加呈先增大后减小的趋势。在一定范围内增加轴承预紧力和辐板倾斜角可以提高转子的1阶临界转速。

2）高速转子的放大因子随辐板倾斜角和轴承预紧力的增加逐渐增大；轮缘的轴向振动位移响应随轴承预紧力的增加逐渐减小，随辐板倾斜角的增加呈先减小后增大的趋势；轴承安装跨距对高速转子的放大因子和轮缘的轴向振动位移响应影响较小。选择合适的辐板倾斜角和轴承预紧力可以减小高速转子的放大因子和轮缘的轴向振动位移响应。