李卫民，马继召，余发军

（1.唐山职业技术学院 机电工程系，河北 唐山 063004；2.中原工学院 信息商务学院，郑州 451191）

由于工况的复杂性，轴承是机械设备中极易损坏的部件，因此对轴承开展状态监测与诊断，对整个设备的稳定运行具有重要意义［1］。在众多轴承诊断方法中，振动分析法最为常用，其利用安装在轴承周围的加速度传感器测取设备运行时的振动信号，并根据振动信号所含的特征成分判断故障的有无和类型［2］。

对于振动信号中特征成分的识别及提取问题，有Fourier变换、小波变换、时频分析和经验模态分解等信号处理方法。这些方法均是对一维时域振动信号进行故障特征成分提取、依据特征频率与理论故障特征频率对比判断故障类型［3］。然而，该类方法容易受强噪声干扰，而且当轴承深埋安装于某些大型设备中时，其理论故障特征频率不易估算，依据故障特征识别的诊断方法难以奏效。

基于分类思想的故障诊断方法利用不同故障样本的特征差异性确定故障类型，避免单一样本故障特征频率的计算，为旋转机械故障诊断提供了另外一种途径［4］。其一般由样本筛选、特征提取、分类器建立和判断决策4个步骤完成［5］，其中常用于故障诊断的分类器有人工神经网络、Fishier分类器、支持向量机等。近年来，基于信号稀疏表示的分类算法广泛应用于语音识别、图像分类及人脸识别中，取得了显著的效果。因此，将信号稀疏分类（Sparse Representation-Based Classification，SRC）算法应用于滚动轴承的故障诊断中，以避免故障特征频率的估算和噪声影响，为滚动轴承提供一种新的故障诊断方法。

1 信号频域稀疏表示

基于冗余字典的信号稀疏分解思想［6］是处理非平稳信号的一种新途径，其主要思想为：信号可由过完备字典中少量原子的线性组合得以完全重构，即信号稀疏表示方法。

现假设一维时域信号为y∈Rm，过完备字典为D=［d1，d2，…，dn］∈Rm×n（m≪n），其中di∈Rm（i=1，2，…，n）称为原子。由信号稀疏表示理论可知，y可由D中少量原子的线性组合表示出来，即

式中：α为稀疏系数，α=［α1，α2，…，αn］T。由于α中仅有少量的非零元素，所以求解α可表示为如下最优化问题

式中：‖α‖0表示非零元素个数。（2）式为NP难解问题，故常求解‖α‖1代替‖α‖0，即

在旋转机械的振动分析中，安装在轴承周围的加速度传感器采样频率很高，采样信号中往往包含大量的背景噪声，而且整个系统的转速及载荷具有不确定性，因此，采集到的振动信号是一种典型的非平稳信号［7］，如果直接对时域振动信号进行稀疏分解，则利用（3）式求解的系数向量α中含有大量非零元素，且分解所耗时间较长，不能满足设备状态监测实时性的要求。

在恒转速下，轴承的故障特征频率为固定值，因此，提出信号频域稀疏表示（Frequency-Domain Sparse Representation，FSR）方法对滚动轴承振动信号进行分析。其主要思想为：利用轴承故障特征成分的频域稀疏性，克服时域噪声的影响，通过Fourier变换将振动信号转换至频域进行稀疏分解。振动信号y的离散Fourier变换定义为

式中：y′为离散Fourier变换的系数向量；N为离散Fourier变换总点数（N≤m）。同理，字典D中各原子也进行N点离散Fourier变换，得到频域字典D′，求解频域稀疏系数α′可表示为

将其转化为正则化表达式，即

2 基于频域稀疏分类的故障诊断方法

基于信号稀疏表示的分类算法［8］的主要思想为：使用训练样本构造字典，测试样本在该字典上的稀疏分解，利用重构误差最小值对测试样本进行归类。SRC已在图像识别特别是人脸识别中得到了广泛的应用，现将其引入滚动轴承的故障诊断中。

根据SRC算法，字典D由各组训练样本构成，即每个训练样本作为一个原子。假设：D=［D1，D2，…，DM］是由M种已知故障类型的滚动轴承振动信号集构造的训练字典，Di（i=1，2，…，M）为第i种故障类型的子字典，每个子字典可包含数量不等的训练样本作为字典D的原子；y为待测故障类型的轴承振动信号，则SRC算法对y进行归类的方法如下：

1）将y在D上稀疏分解，求取稀疏系数^α；

2）利用稀疏分解系数重构待测信号，根据重构误差最小值进行归类，即

频域稀疏分类（FSRC）利用信号频域稀疏表示方法对测试样本进行归类。其主要步骤为：

1）对训练字典D进行离散Fourier变换，利用变换系数的模向量构造频域字典D′，即

2）利用（4）式对y进行离散Fourier变换得到模向量y′，将y′在D′上稀疏分解，求取频域系数′。

3）重构y′，根据重构误差最小值进行归类，即

将基于频域稀疏分类的轴承故障诊断步骤归纳如下：

1）将M种已知故障类型的滚动轴承振动信号集D=［D1，D2，…，DM］∈Rm×n作为训练样本矩阵，将待测故障类型的轴承振动信号y∈Rm作为测试样本，设定惩罚因子为。

2）对D中每一列进行离散Fourier变换，利用变换系数的模向量构造频域字典D′，并对D′的每一列向量进行归一化处理，使其L2范数为单位1，即∀d′∈D′，‖d′‖2=1。

3）对测试样本y进行离散Fourier变换得到其模向量y′，并求解L1范数最优化问题，即

4）计算每个类别的稀疏逼近误差

5）输出测试样本y的故障类别。

3 试验验证

为验证频域稀疏分类方法的有效性，采用美国西储大学设备监测实验室的轴承振动数据集进行测试。该数据集由安装在6205-2RS轴承周围（正上方、正下方、正左方和正右方）的加速度传感器采集得到，采样频率为12 kHz，转速为1 797 r/min，故障点尺寸为0.213 cm。正下方通道得到的4种工况下的时域波形如图1所示。

图1 不同工况下轴承的振动波形Fig.1 Vibration waveforms of bearing under different conditions

选取正上方通道和正右方通道的振动数据，将其截为长度为2 048点的训练样本集，4种工况下各选取30个训练样本建立稀疏分解的训练字典D，即D中共包含了4×30个样本，每个样本作为一个列向量。以图1中4种故障类型的振动信号作为测试样本，测试诊断效果。

先对训练字典D进行2 048点离散Fourier变换，由于离散Fourier变换的前一半与后一半变换系数是对称的，所以取变换系数的前一半模向量构造频域字典D′。对图1中4种故障类型的振动信号也进行2 048点离散Fourier变换，其前一半变换系数的模值如图2所示。

图2 轴承振动信号离散Fourier变换系数的模值Fig.2 DFTmodulus values of bearing vibration signal

将图2中的变换系数模向量在频域字典D′上稀疏分解，取惩罚因子γ=0.1，采用SLEP［9］算法求解频域稀疏系数′。得频域稀疏系数后，重构这4种故障类型的振动信号的变换系数模向量，得到的重构误差如图3所示。从图中可以看出：4种故障类型的重构误差最小值都对应各自的故障类别，验证了上述方法对单个样本数据的有效性。

图3 轴承振动信号的重构误差最小值Fig.3 Minimum reconstruction error of bearing vibration signal

为进一步验证频域稀疏分类方法，测试轴承数据集的整体诊断正确率。选取包含12种故障类型的新数据集：1种正常工况、3种外圈故障（故障点尺寸0.213，0.427和0.640 cm）、4种内圈故障（故障点尺寸0.213，0.427，0.640和0.853 cm）和4种球故障（故障点尺寸0.213，0.427，0.640和0.853 cm）。在每种故障类型随机选取30段振动信号，每段振动信号包含2 048个数据点，共计360段振动信号构造训练字典，在剩余的振动信号中选择30段作为测试样本。

图4 不同参数对诊断正确率的影响Fig.4 Effects of different parameters on diagnostic accuracy

表1 不同方法的诊断正确率对比Tab.1 Diagnostic accuracy comparison among differentmethods

4 结束语

基于频域稀疏分类算法的轴承故障诊断方法利用频域系数进行稀疏分类，回避了故障特征频率的求取，克服了噪声的影响，使滚动轴承的诊断正确率得以明显提高，为大型旋转机械中轴承型号未知情况的故障诊断提供了一种新方法。成功实施频域稀疏分类方法的前提是尽可能存储已知各种故障类型的振动信号，以构造用于稀疏分类的字典，这对存储大量振动样本的计算机是个考验，下一步将研究利用学习型字典的稀疏分类方法以减少存储空间并提高训练效率。