马符讯，席瑞杰，徐　南

(1.武汉大学 卫星导航定位技术研究中心，湖北 武汉 430079；2.武汉大学 测绘学院，湖北 武汉 430079；3.清华大学 地球系统科学研究中心，北京 100084)



K-GM(1，1)模型在岩体变形监测中的应用

马符讯1，席瑞杰2，徐南3

(1.武汉大学 卫星导航定位技术研究中心，湖北 武汉 430079；2.武汉大学 测绘学院，湖北 武汉 430079；3.清华大学 地球系统科学研究中心，北京 100084)

摘要：传统GM(1，1)模型存在着长期预测效果差、模型精度不高等问题，卡尔曼滤波能够排除建模过程中随机干扰因素，滤波值能够反映更真实的数据情况。为了能更好地提高变形监测的预测精度，基于传统GM(1，1)模型和卡尔曼滤波，提出K-GM(1，1)模型，利用该模型对岩体变形监测数据进行建模预测，并与传统GM(1，1)模型预测结果进行对比分析，结果表明，K-GM(1，1)模型具有较高的预测精度，可作为变形监测的一种新方法。

关键词：卡尔曼滤波；GM(1，1)模型；预测；变形监测

1基于卡尔曼滤波的灰色模型

1.1传统GM(1，1)模型

设某系统原始观测序列：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)}，X(0)一次累加生成X(1)序列：X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)}，其中

(1)

当X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)}是时间t的连续可微函数并满足一阶微分方程：

(2)

式中：参数a为发展系数，表征系统的发展走势；参数b为灰色作用量，表征数据变化的关系。

则GM(1，1)的时间响应函数

(3)

最后通过累减得到预测值：

(4)

1.2K-GM(1,1)模型

卡尔曼滤波是一种通过对被提取信号有关的观测量的算法估计得出所需信号的滤波方法。离散系统的卡尔曼滤波的动态方程和量测方程

(5)

(6)

式中：xk,ωk-1分别为k时刻的状态变量和动态噪声;φk,k-1为k-1时刻到k时刻的状态转移矩阵；zk,Hk,vk分别为k时刻的观测向量、量测方程系数矩阵和量测噪声。……