宋 强，师会超

（安阳工学院机械工程学院，河南安阳455000）



“控制工程基础”课程中梅逊增益公式的应用技巧

宋 强，师会超

（安阳工学院机械工程学院，河南安阳455000）

摘要：提出了通过计算机检索和分叉法来确定梅逊增益公式的回路和前向通道传递函数，确定特征余因子，利用梅逊公式求解系统闭环传递函数，为正确运用梅逊增益应用奠定了基础。

关键词：梅逊公式；计算机检索；分叉法；传递函数

0引言

在“控制工程基础”课程教学中，很多同学感觉这门课程概念多、公式多、应用多，糅合物理化学加之数学，学起来很难理解，刚开始学生信誓旦旦一定要学好，但随着课程地不断深入，学生有点吃不消了，感觉此门课“难于上青天”，随之第二章第三章呼啸而来，大多同学乖乖举手投降、上课时在呼呼黄粱美梦中度过十分珍贵的时间！为此，为了学好这门课程，我们来列举一些学习技巧以供参考。控制工程基础课程我们只讲单输入单输出的经典控制理论，简单的单回路控制同学们还能理解，对于复杂的控制系统，大多同学感觉云里雾里迷茫一片。解决复杂控制系统一般由方框图化简法或采用梅逊增益公式求解，采用方框图化简一般要移动求和点或引出点，对于互相交叉且回路众多的复杂系统来说，方框图化简也很难凑效，这种系统我们只好求助于梅逊增益公式，梅逊增益公式的学习有些技巧，下面就计算机检索法和分叉法进行介绍。

1 梅逊公式的应用

当系统信号流图已知时，可以用公式直接求出系统的传递函数，这个公式就是梅逊公式。由于信号流图和结构图存在着相应的关系，因此梅逊公式同样也适用于结构图。

梅逊公式给出了系统信号流图中，任意输入节点与输出节点之间的增益，即传递函数。其公式为

式中n——从输入节点到输出节点的前向通路的总条数。

Pk——从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。

Δ——为特征式，由系统信号流图中各回路增益确定：

Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…

式中 ∑La——所有单独回路增益之和；

∑LbLc——所有存在的两个互不接触的单独回路增益乘积之和；

∑LdLeLf——所有存在的三个互不接触的单独回路增益乘积之和；

Δk——为第k条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第k条前向通路接触的回路后的Δ值的剩余部分。

上述公式中的接触回路是指具有共同节点的回路，反之称为不接触回路。与第k条前向通路具有共同节点的回路称为与第k条前向通路接触的回路。由梅逊公式可以看出，总增益P实际上就是系统某两点之间的传递函数，特征式Δ实际上就是闭环系统的特征多项式。

根据梅逊公式计算系统的传递函数，首要问题是正确识别所有的回路并区分它们是否相互接触，正确识别所规定的输入与输出节点之间的所有前向通路及与其相接触的回路。

采用这种方法，要注意以下过程：

1）要搞清回环的个数，定要数清单回路的个数；搞不清回路的个数，第一步就计算错了，这是梅逊增益公式应用的基础。

2）要注意互不接触回路的个数，一般三个不接触回路基本不存在，我们一般使用“计算机检索”的方法来决定互不接触回路的个数，所谓计算机检索的方法，将加入控制系统有n个互不相同的回路，定义为Ln（n=1，2，3，…，n），从L1回路开始依次和L2、L3、…，Ln看能否构成两个互不接触回路，如果两个回路没有公共节点就构成两个互不接触回路，L1检索结束再从回路L2回路开始检索，L2结束再从L3开始，直至检索到Ln结束。这样重复的检索次数为

，按照此方法不会漏掉一个两个互不接触回路。也可以按照计算每两个互不接触回路传递函数乘积，如果发现计算的传递函数有某个传递函数的平方，那一定计算错了。仔细检查就可以确定那部分错了。

3）对于第k条前向通道特征余因子的确定技巧。定义Δk为第k条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第k条前向通路接触的回路后的Δ值的剩余部分。里面包含两层意思；第一，特征余因子Δk是和第k条前向通道相对应的，也就是与第一条前向通道P1对应的特征余因子是Δ1，与第二条前向通道P2对应的特征余因子是Δ2，与第k条前向通道P1对应的特征余因子是Δk，也就是说特征余因子是相对于某条前向通道而言的，前向通道变化了其对应的特征余因子也会变化。第二，Δk的求取方法：对于前向通道P2的相对应的Δ2，与前向通道P2相接触的回路代以零值，不接触的回路保留原值，这样就可以确定Δ2，对于三个不接触回路也是在Δ的基础之上求取的。

4）分叉法从信号流图中输入节点开始，作为分叉法的第一层。只考虑从此节点流出的箭头而不考虑流入的箭头，到达下一个节点作为第二层。同理依照箭头方向依次向下传递作为第i+1层，直至到达输出节点。输入节点级别最高，输出节点级别最低。

下面列举一些例子来阐述

例1试求如图1所示系统的传递函数。

图1 系统结构图

解：步骤1：找出前向通路数n

前向通路数：n＝1，P1=G1G2G3G4G5G6

步骤2：确定系统中的反馈回路及其增益

L1=-G1G2G3G4G5G6H1，L2=-G2G3H2，L3=-G4G5H3，L4=-G3G4H4

步骤3：利用梅逊公式求传递函数

使用计算机检索方法，L2l3两两互不接触

例2用梅逊公式求如图2所示系统的传递函数。

图2 系统的方框图

解：步骤1：确定反馈回路L1=-G1G2G3，L2=-G1G2H1，L3=-G2G3H2，L4=-G1G4

L5=-G4H2

步骤2：确定前向通路P1=G1G2G3，Δ1=1，P2=G1G4，Δ2=1

步骤3：求总传递函数

3 结论

本文针对梅逊公式的应用提出了计算机搜索和分叉法等方法和应用技巧，这些为准确理解、灵活运用梅逊公式及其应用奠定了基础，是值得研究和思索的。

参考文献：

［1］宋强.机械工程控制基础［M］.北京：中国铁道出版社，2014.

（责任编辑：郝安林）

Mason Gain Formula Application Skills

SONG Qiang，SHI Huichao
（School of Mechanical Engineering Anyang Institute of Techonogy，Anyang 455000，China）

Abstract：This paper presents a computer retrieval and bifurcation method to determine the mason gain formula of circuit and the forward channel transfer function，also determine the characteristics of more factors，using ma⁃son formula to solve the system closed loop transfer function，laid the foundation for the correct use mason gain application.In this article，through specific examples.

Key words:Mason formula；computer retrieval；bifurcation method；the transfer function

中图分类号：G420

文献标志码：A

文章编号：1673-2928（2016）02-0119-03

收稿日期：2015-01-03

作者简介：宋强（1972-），男，安阳工学院机械工程学院副教授，研究方向：智能控制、过程控制、计算机及其应用。