☉浙江省衢州市衢江区杜泽镇初级中学　徐建兵



基于新课标下的一道中考动态压轴题引发的思考

☉浙江省衢州市衢江区杜泽镇初级中学徐建兵

新课程总体目标把“双基”改成了“四基”，在原来的基础知识和基本技能的前提下增加了基本思想和基本活动经验，更加突出课堂教学对学生的思维与能力培养.课堂中学生的学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，课堂中需要有足够的时间和空间让学生经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动.使学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想得到发展.动态几何问题能够把代数与几何有机地融为一体，综合性强，能够有效地考查学生的数学思维和解决问题的能力，因此它成了中考的热门话题.笔者有幸在2015年参加了衢州市中考数学的命题工作，经历了第24题动态几何压轴题的命制、磨题和阅卷的全过程，在此与大家一起分享.

一、题目呈现

图1

（1）求tanA的值.

（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上.请直接写出t的值.

二、命题意图与答题思考

1.第（1）小题的命制意图

第（1）小题考查学生三角函数知识的同时创建了动点的运动路径，为（2）（3）小题的解答做好铺垫.本题要求学生具有一定的创造性思维，能够通过添加辅助线构造出直角三角形，利用直角三角形的边长比求出三角函数的值.同时的答案方便了学生对（2）（3）小题的解答.本题难度不大，适合大多数学生完成，有利于让学生在紧张的中考中更好地进入解题的状态.

2.第（1）小题解题呈现

如图2，过B点作BM⊥AC，

图2

3.答题思考

在初中阶段，三角函数与直角三角形是密不可分的，通过三角函数可以解直角三角形，通过直角三角形可以求三角函数的值，因此在课堂中应该注重知识之间的相互联系，融会贯通.本题需要学生拥有作高构造直角三角形的能力，在中考的阅卷过程中发现，除答案给出的以AC为底边作高外也有以AB为底作高的同学，如图3，但是以AB为底作高会使得它失去对第（2）小题的铺垫作用，不利于第（2）小题的解决.对于钝角三角形作高，还有一部分学生会搞错，如图4，由于三角形的高画错导致解题出错，在阅卷中还发现有些同学对3个三角函数概念出现混淆的现象，如图5，把三角函数的正切值与三角函数的正弦值混淆，还有同学在运用三角形面积公式时忘记乘以二分之一导致错误，笔者在教学中也遇到类似的情况，因此，在课堂教学中，应该注重学生基础知识的掌握和基本技能的形成.作垂直是添加辅助线的一种常规方法，这种基本技能还要在课堂中让学生多尝试多体验，以便更好地形成自己的一种能力.

图3

图4

图5

4.第（2）小题的命制意图

伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的长度也会变化，本题考查了学生的探究和运算能力，通过学生直观的感知，发现最小值的存在，引导启发学生过P点作PM⊥AC构造直角三角形，根据勾股定理表示出PQ2，再利用二次函数知识解决最小值的问题，把代数与几何有机地融为一体.本小题难度适中，适合中偏上成绩学生完成.利用解析法探索最小值既考查了学生对二次函数知识的应用能力，也考查了学生探索和解决问题的能力.两种辅助线添法所需要的计算量也不一样，但都要学生具有一定的计算功底，这正好符合2015年中考考试说明里的加强学生运算能力的考查.

5.第（2）小题解题呈现

图6

根据勾股定理得S=PQ2=NP2+NQ2=（3t）2+（9-9t）2=

图7

6.答题思考

从中考阅卷的情况来看，学生对这种图形变化具有一定的直观感觉，很多同学从图形的变化中发现存在最小值，把学生的思维引向最小值是多少的探究上，这种由猜想到推理实践的能力正是现在需要大力培养的能力之一.笔者在中考阅卷中发现还有相当一部分同学缺乏这种探究的能力，因此，在课堂教学中如何更好地培养学生的探究能力值得我们教师反思.两种解题思路源于学生两种作高的方法，本题给学生不同的解决问题思路，开阔学生的思维.基于对学生计算能力的考查，两种方法在计算时存在不同的难度值，而且计算之时也存在一定的技巧性，给了不同思维的学生不同的展示空间，从中考阅卷中明显反映出学生的计算能力比较弱，据统计在探究解决此问题时，如图8，在“S=PQ2=NP2+NQ2= （3t）2+（9-9t）2”这一步后面解错的大约有一半人数，因此，我们在课堂教学中应该加强对学生计算能力的培养.笔者记得在参加浙江省2015年中考命题培训时，仙居县教研室特级教师吴增生老师就提到今年考试说明里加强运算能力考查的变化，他提到运算是代数的核心，笔者也因此深受启发.在命题之时笔者曾考虑点P沿射线AD方向运动，点Q沿射线AC方向运动，如此一来，发现PQ不会出现最值问题，因此，笔者把点Q改为由点C运动到点A，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，PQ就存在一个最小值问题，值得探究.因此在课堂中教师还要注重变式练习，培养学生发现问题、解决问题的能力.让学生学会去变式、去猜想、去发现、去论证.

图8

7.第（3）小题命题意图

第（3）小题注重考查学生的数学思维能力，解决问题时需要运用图形变化中的分类讨论和方程思想，把我们课堂中经常出现的“K”字型全等的几何问题有机地融入到变化的过程中，利用“K”字型全等进行计算，大大方便了学生对各种情况的分析解决.本题图形的变化与以往的有所不同，有图形的放大，也有图形的转动，这更开阔了学生的视野，四种难易不同情况的出现使得本小题有了很好的区分度，真正起到选拔的作用.

图9

8.第（3）小题解题呈现

①当点E落在HG边上时，如图9，过点P作PM′⊥AC，PQ=EQ，∠PM′Q= ∠EHQ，∠PQM′=∠EQH，所以△PQM′≌△EQH，所以QM′=QH.因为QM′=9-9t，QH=5t，所以9-9t=5t，所以

②当点F落在HG边上时，如图10，过P、E两点分别作PM′⊥AC、N′H′⊥AC，易证△PM′Q≌△QN′E≌△EH′F，所以PM′=QN′=EH′=3t，M′Q=N′E=H′F=9-9t，9-9t+3t=5t，t=

图10

③当点P落在QH边上时，如图11，点E恰好落在QC边上，AQ=4t，CQ=5t，4t+5t=9，t=1.

图11

图12

④当点F落在CG边上时，如图12，过点P作PM″⊥AC，PN″⊥CG，易证△PM″Q≌△PN″F，PN″=3t，AM″=4t，

9.答题思考

本小题通过图形的变化，重在考查学生的数学思维能力，让不同能力的学生获得不同的分数.要找到四个答案需要学生拥有很好的数学思维，图形的变化外表虽然看起来复杂，但如果学生看到了变化问题的本质，当点落在正方形水平的边上时，点的坚直高度决定着点在水平的直线上，同时点的水平距离决定着点是否在线段上，当点落在正方形竖直的边上时，点的水平距离决定着点是否在直线上，而点的竖直距离决定着点是否在线段上，这样问题就容易得到解决.点E落在正方形QCGH边上时，如图13，过点P作PM⊥AC，过E点作EN⊥AC，此时AN=AM+MQ+NQ=4t+9-9t+3t=9-2t，EN=MQ=9-9t，由AN与EN的长来分析点是否落在正方形QCGH的边上.以此类推再考虑点F和点G，画出图形寻找等量关系，构造方程解决问题，本题充分考查了学生的思维能力，学生要思考运动的整个过程，发现存在的等量关系，利用方程思想解决问题，具有一定的难度，因此在课堂教学中要多留出学生思考问题的时间和空间，通过练习发现学生思维的不足，加强训练，使学生拥有这些方法和技能，提高学生解决问题的能力，只有这样才能在中考中立足不败之地.

图13

三、课堂教学思考

如图14是中考阅卷正评分的分布曲线统计图，此图反映了本题在中考中起到了能力区分的作用，实现了命题者的命题意图.从答题的过程中也反映出课堂教学时我们广大教师应该思考的一些问题：

图14

1.课堂中“四基”是否落实到位

教学要立足于教材，高度重视基础知识、基本技能和基本思想方法等核心内容，深化对基础知识的理解，重视知识发生、发展的过程，体会对基础知识，如定理、法则的推导过程，典型例题、习题中蕴含的一般规律与方法等，要从教材中寻找中考试题的“影子”，试卷中多数试题都来源于教材中的例题或习题.要注意基础知识间的内在联系，注意加强对通性通法的熟练掌握，重视基本技能的训练.同时要面向全体学生，防止两极分化的出现，本题得分情况充分暴露出学生计算能力差和两极分化严重的问题.

2.课堂中思想方法是否得到体验

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略，是数学知识的重要组成部分，考查数学思想方法是考查数学思维能力的必由之路.抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在.因此，在复习时要注意体会教材例题、习题及中考试题中所体现的数学思想和方法，对平时练习中出现考查数学思想方法的题目，及时强化和渗透，逐步培养考生用数学思想方法解决问题的意识.

3.课堂中学生能力是否得到培养

《课程标准》特别强调在传授知识的过程中，培养学生的思维能力.近几年的中考数学试题，已逐步从考查数学知识转化成考查数学能力，数学能力不是短时间内形成的，教学中，要从起始年级开始就注重能力的培养，建立一个能力培养体系，使能力培养贯穿于初中数学教学的全过程.同时，在教学过程中，还要重视知识的发生、发展与形成的过程，注重解题思路的探索过程，注重解题方法和解题规律的概括过程，要合理地调配时间，“让学生动手实践、自主探究和合作交流”，使教学的过程变成一个学生思维方式不断发展的过程，从而达到培养学生良好的数学素养的目的.

参考文献：

1.潘建德.从一道中考压轴题的命制过程看数学试题的命制［J］.命题研究，2013（3）.

2.蔡新春.一道中考题的命制过程与启示［J］.中学数学（下），2012（9）.

3.席月琴.立足认知基础命制有效试题——一道填空题压轴题的命制反思［J］.中学数学（下），2014（3）.H