☉西北师范大学教育学院　张定强



数学问题：教师与学生视角的理性分析*

☉西北师范大学教育学院张定强

数学问题不仅是建构数学教科书的核心要素，也是数学教与学的核心要素.教师通过对数学问题的剖析、意境的挖掘传播数学的知识、思想和方法，学生通过问题的发现、提出、分析和解决获取数学的知识、思想和方法.通过数学问题使数学的知识、思想、方法和精神在流动、丰富、发展，使师生不断地品味数学的真善美，感悟数学的本质和力量.通过数学问题展开师生会话，沟通师生情感，激活师生思维，那么，如何在数学问题的形态下感悟、探讨、提高、体验、发展数学智慧就是本文思考的主旨之一.

一、数学问题：教师视角的分析

数学问题在教与学的过程中具有不可或缺性，这就决定了数学问题在数学教学中的核心地位.数学教师惟有全身心地卷入数学问题，才能从知识性、教学性、反思性的维度对数学问题的深度、宽度、关联度进行深刻思考.

1.数学问题的知识性分析

数学问题是以某个对象中涉及数学方面的无知而渴望自觉解决的意识状态［1］，是由显性的情境、语言及隐性的目标、情感等要素建构，以问题的形态表征，融知识性、思想性、问题性、方法性、情感性于一体.数学教师的首要任务就是对数学问题中所蕴藏的知识要素进行分析，一要分析不同类别数学问题所蕴藏的知识成分，把数学问题中所涉及的不同领域相互联系的知识性态透彻分析；二是要分析解决此类问题所需要的经验成分，从不同侧面清晰解读数学问题解决中所需的数学思想、方法；三要分析解决问题后需要加深理解的数学知识，从不同的维度拓展、深化此数学问题所关联的核心、关键的问题.

如2015年安微省合肥市中考试题第10题：如图1，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b-1）x+c的图像可能为（）.

图1

图2

此题涉及一次函数、二次函数的图像、性质及函数与方程之间的相互关系，需要教师认真挖掘一次函数、二次函数，函数、方程之间的内在联系，启发引导运用数形结合、函数方程思想方法去解决问题，更进一步地理解一次函数、二次函数的性质.

2.数学问题的教学性分析

数学教学是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，数学问题是这一过程的活化因子.一方面数学问题承载着一定的知识、思想和方法，另一方面数学问题是促进学生数学进步的载体.因此数学问题就成为教师教学中优先分析的要素，无论是设计层面、实施层面还是反思层面.一是围绕着教学设计分析数学问题，深入地分析数学问题的结构、特征，整合各种资源，基于学生的学情创设挑战性的问题情景以吸引学生投入学习过程.二是围绕教学实施分析数学问题，紧扣数学问题的发现、提出、分析、解决而进行，将机智的教学用语、灵活的数学活动、适切的点拨启示、关键的计算证明等融入全程，引导学生在数学问题的思考中夯实四基.通常数学问题是以例题、练习、习题、考题等形式出现，针对不同形态的问题，选择适宜的教学方法，进行变式教学，在继承熟能生巧、变式练习的传统［2］基础上教学创新，拓展思维、连接知识、提炼思想、析取方法.三是围绕教学效益分析，剖析数学问题对学生知识水平的提高、思维的训练、兴趣的激发方面所产生的功效，不断调整数学问题的深度、广度、难度，使数学教学中的问题成为联系的问题、弹性的问题、背景的问题，充分发挥其应有的教学价值.

例如“有理数及其运算”（北师大版）章前言中的问题，就是启动有理数教学的活化因子，提了6大问题，5大学习目标，这些问题就是教师教学中优先思考的问题，无论是设计、实施还是评价层面，都是这一章节数学教学的重点，而这6大问题环环紧扣，贯穿这一章始末.

3.数学问题的反思性分析

反思性分析是教师的第二天性，而教师对数学问题本身及应用于教学的分析就是反思性分析.数学问题中所涉及的知识、思想、方法有三类.一类是活性的知识与思想方法，是指在头脑中获得加工、积极运用，又被深入地内化成为理解的正确信息；一类是主动性忽略的知识与思想方法，是指人们将实际错误的信息看成是正确的知识，而且这些错误的信息还在头脑中获得加工并得以积极应用的心理过程；还有一种是惰性知识与思想方法，是指并不完全理解仅通过机械记忆进行加工的信息，而总会自以为理解了信息的意义［3］.对数学问题进行反思性分析就需要教师用反思的眼光对这三种类型批判分析.一是分析数学问题的思维过程，数学思维与人类思维的天生一样，倾向于自欺、从众、歪曲、无根据或偏见，教学中就要不断剔除这些误区，清晰而准确地描述数学问题，显化数学问题中的题根、题干、题意、题串，揭示其活性；二是分析数学问题如何激活和养成问题意识与反思意识，使学生在数学学习时能够明题意、立方法、串思想、启思维，剔除其忽略及惰性；三是分析数学问题的目标达成度，恰当定位目标，拓展活动，反思数学问题的适宜度、教学方式的适用性，实现从教材到教学的转化.

如程靖、孙婷、鲍建生在研究我国八年级学生数学推理能力中测试了这么一道题：观察三个特殊等式：，你能得出什么样的结论？发现有的学生得出了的错误结论［4］，其原因是日常学习过程中缺乏反思意识，仅对题目中的信息进行了机械加工，以为正确地理解了题目中所蕴藏的信息，犯了主动性忽略知识与思想方法的错误.因此，在日常的数学教与学中，要有意识地训练反思意识，才能激活活性知识.

二、数学问题：学生视角的参与

学生钻研数学问题就意味着学习活动的开启，意味着学生数学学习行为与思维变化的发生，意味着记忆、推理、分析、综合、批判等思维要素参与其中.通过问题学数学已成为一种基本的学习理念，对数学问题的热爱与钻研，对数学问题的痴迷与执着，就意味着情感的投入、意志品质的培植.因此，从学生的视角分析其在数学问题中的认知、行为、情感参与就十分重要.

1.数学问题的认知性参与

学生的认知性参与就是学生基于数学问题在思维参与下的信息加工.通常情况下，数学思维的目标决定提出的数学问题，提出的数学问题决定搜集信息的内容，搜集信息的内容影响解释数学问题的角度，解释数学问题的角度决定抽象概括信息的方式，抽象概括信息的方式影响确立的假设，确立的假设影响数学思维的潜在意义，数学思维的潜在意义会影响理解事物的方式，即观点、视角、角度和立场.数学问题中对这些相关联的要素系统分析会使学生的个性得以展现，创造力得以激发.学生正是在参与数学问题的活动中掌握数学知识，丰富数学思想，增强数学智慧，也是在数学问题的思考与解决中，学会数学、学会学习、学习分享、学会钻研.数学问题的解决需要一些公式、概念、原理等的掌握与领会，以及学习数学经验的参与，需要在师生间的解释、论证、洞察、批判、变通、理解中发展成数学智慧.

2.数学问题的行为性参与

数学问题的发现、提出、分析、解决需要学生的行为参与，其基本样态就是说、做、思.说是能够用数学的语言对数学问题进行解释和分析，做就是通过尝试、实验、推导、演练、创新，实现解一题、会一类、通一片的目标，思就是对数学问题的来龙去脉，与数学知识、教材、思维、生活等诸多方面的关系进行反思，养成会发现、会提问、会分析、能解决、善思考的习惯.学生基于数学问题的行为参与，就是把看、说、做、议、思等活动嵌入到数学教与学活动的始末，使学生成为一名积极的问题解决与思考者，形成问题解决的智慧模式，同时形成一种争鸣机制，使学生富有激情地进行数学学习与思考.无论是例题、习题、复习题、考试题，都能主动参与问题的解构与建构活动，理解数学问题的本质及在数学学习中的重要性，使数学问题解决的力度、速度、广度都能充分发挥它的功效.

如在解决这个数学问题中：图3中的3×3×3立体图形中立方体的总数是多少？长方体的总数又是多少？将此问题进行拓展，在n×n×n、l×m×n的图形中，立方体、长方体的总数又是多少？

图3

解决此问题，除了类比平面上与此类似的简单问题，还要寻找实际模型（如魔方）进行对比分析、实际观察和操作，使可见的认知行为与不可见的行为参与，就能顺利地完成此问题的解决.

3.数学问题的情感性参与

由于数学问题发现的艰难性、提出的科学性、分析的思维性、解决的探索性，都需要学生情感的参与，这样才能品味到数学学习的意境，才能培植优良的思维品质，从而系统地思考解决问题的方式、对不理解的问题进行提问、坚持不懈地投入并在学习过程中掌握优秀的思维技巧.没有热爱就不可能有数学进步，好多学生惧怕数学，产生迷思感、无助感，最为根本的就是缺乏情感投入，可见强烈的动机、兴趣爱好、顽强意志、积极情感、独特性格在数学学习中十分关键.国家最高科学技术奖获得者除了智力因素的作用，更重要的是非智力因素在其成长与科学研究过程中发挥的积极作用［5］.通过数学问题才能锻炼学生学习的意志品质，使学生形成从问题集走向核心的问题，从核心问题进入到问题系统，再从问题系统慢慢探讨解决问题这样一种学习过程.在这个过程中养成谦逊、勇气、整合性、自主性、换位思考、坚毅及对推理的信心.

如PISA2012测试中有这样一道样题：为了完成一项有关环境的家庭作业，学生们搜集了一些关于几种常见垃圾分解时间的信息：

垃圾类型　分解时间香蕉皮　1~3年橘子皮　1~3年硬纸箱　0.5年口香糖　20~25年报纸　几天一次性塑料杯子　超过100年

有一个学生想要以柱状图的形式来展示结果，请说出一个理由表明为什么柱状图不适合用来展示这些数据.本题被置于科学性情境之下，涉及数据的类别、解释和呈现，时间跨度的相对长短等因素，需要在阅读文本和理解表格时，对环境的关注、现实情境自然地介入解决过程中，而不仅仅是识别和提取出柱状图的关键数学特征，要充分地理解“使用数学工具”这一含义的多重意义.

三、结束语

数学问题是教与学的基点，通过数学问题把教与学串联起来.教师将整合教材、学生、技术等多种因素组织教学，选取适切的问题建构一个探究和系统化学习的空间，使学习过程中的数学问题不断系统化、图式化、可视化.学生将已有的知识、经验参与数学问题的研讨与思考中，获取对数学概念、原理、方法的理解与掌握.因此，作为教与学主体的教师与学生，要有问题意识，主动地开发问题空间，总结问题模式，优化问题集，形成问题链，建成问题网，进而基于问题视角关注知识之间的相互联系，聚焦核心问题，形成一个解决问题的系统，避免知识断点化和碎片化，通过有层次的扩展、图形化的迁移、系统化的贯穿，实现知识的整体建构与学习的有效迁移，提高数学教学质量.

参考文献：

1.张定强，曹春艳，张炳意.数学教科书建构和解构：理论和方法［M］.北京：中国科学技术出版社，2014.

2.方运斌.“数学问题解决”研究的中国特色［J］.课程·教材·教法，2015（3）.

3.［美］理查·德保罗，琳达·埃尔德，著.批判性思维工具［M］.侯玉波，姜佟琳，等，译.北京：机械工业出版社，2013.

4.程靖，孙婷，鲍建生.我国八年级学生数学推理论证能力的调查研究［J］.课程·教材·教法，2016（4）.

5.李祖超，李蔚然，王夫娥.国家最高科学技术奖获得者非智力因素分析［J］.教育研究，2015（10）.Z

*本文系教育部教师司项目“创新教师培养模式”（06-138-PY），西北师范大学2011年教学研究立项重点项目（2011001A）的阶段性成果.