☉江苏省盐城市初级中学　陈冠军



例谈模考卷几何综合题的命制

☉江苏省盐城市初级中学陈冠军

一、写在前面

中考模考卷往往发挥着考生参加中考前的热身、适应、评估的作用.本文呈现的是我在某次模考卷命题过程中对一道几何综合题命制的思考与体会，现成文如下，供分享和研讨.

二、一道几何综合题的命制历程

（一）考题原型

（一道八年级试题）如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，过点F作GH⊥AF，交直线AB 于G，交直线CD于H.

（1）求证：BG=CH-BE；

（2）如图2，若F是AE延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG、BE、CH之间的数量关系；

（3）如图3，若K为CD边上一点，AD=3，∠DAK=30°，M为AK的中点，过点M的直线分别交边AD、BC于P、Q点，且PQ=AK，则AP的长为多少？

图1

图2

图3

思路简述：前两问比较简单，属于常规题，第三问有一定的难度，笔者曾预设制作了如图4所示的PPT，在八年级讲评该题.

图4

经过图4这样的动画渐次呈现思路启发，并追问学生的理解之后，取得了较好的教学效果.从命题角度看，前两问“相聚”在题干下是恰当的，而第三问与题干中的条件和信息无关，属于独立问题，没有必要作为该题的（3），特别是第三问中的图形并不需要给出，条件叙述得很清楚，图形应该由练习者自己构造.这样的解题教学、命题反思过程启发笔者在接下来的模考题命制中生成几何综合题的初稿.

（二）几何模考题命制历程

第1稿：如图5，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，∠AEB=60°.

（1）利用尺规作图补全图形.（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）

图5

（2）取BE的中点M，过点M的直线交边AB、CD于点P、Q.

①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；

设计意图：这道综合题主要受到“原型问题”的第三问启发，融入尺规作图，让学生作出点E，并继续引导研究相关问题，后两问之间紧密联系，逆向设问，但又需要考虑分类讨论，如图6，需要考虑PQ、P′Q′两种不同位置关系，相应的△BPM就有两种不同的解.

图6

但考虑到作为全卷倒数第2题，最后一问的难度还偏低，不足以满足“高层次”学生的区分作用，故打磨成第2稿.

第2稿：（限于篇幅，前面不变，只是将最后一问更改如下）

②小舟同学发现：当PQ=BE时，点Q、D、E、M在同一个圆上，请判断“小舟的发现”是否正确，并说明理由.

设计意图：将问题解题视角向四点共圆拓展，追求较高的拓展和生长，但考虑到《课标（2011年版）》弱化了圆的学习与考查要求，故还是放弃四点共圆的拓展，打磨成第3稿.

第3稿：（限于篇幅，前面不变，只是将最后一问更改如下）

②当PQ=BE时，延长BE、CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.

设计意图：通过延长BE、CD，增加解题层次，需要分类讨论、猜想数量关系，并说明理由，应该能达到较好的区分功能.但是命题组有老师认为题干的表述不太自然，于是我们重新表述题干后，定稿如下.

定稿：如图5，四边形ABCD为正方形.在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°.

（1）利用尺规作图补全图形.（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）

（2）取BE的中点M，过点M的直线交边AB、CD于点P、Q.

①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；

②当PQ=BE时，延长BE、CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.

接下来是整理参考答案与制订评分标准：由于评分标准常常不为有些命题老师所重视，使得阅卷时造成评分随意，不能准确体现试题的诊断、评估功能，故这一环节在命题过程中也是十分重要的，以下给出我们制定的简要评分说明.

（1）如图7，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧，交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E……3分

图7

★评分提醒：该题的作法众多，估计学生会有n种成功作法，评卷老师注意结合考生的作图语句叙述仔细辨认，慎重评分.命题意图是引导学生重视古老的尺规作图及其背后的理由，平面几何的理性思维的价值也在于此，这也是《课程标准（2011年版）》上所倡导的.

（2）这里证明是常规思路，为节约篇幅不展示.

（3）需学生考虑两种情形（如图8、9），分析出NQ= 2MQ或NQ=MQ.

图8

图9

三、命题反馈与辩护

考试之后，我们收集了一些反馈意见，比如有人认为：觉得第一问的起点有些高，打着尺规作图的幌子其实是个脑筋急转弯，而且从最近几年的中考看，虽然在考试范围内，但尺规作图一直没有怎么考过.很多学生说＂死在第一问＂上，于是就都空白了.

作为命题人，给出一些辩护：觉得到了第27题（全卷倒2的位置），“很多学生”应该“有为有不为”，可能并不适合他们……如果智慧一点，懂得取舍，可能会抢到第二问的分，同时还会启发他们做第一问、第三问的一半.临近中考，应试策略与机智往往区分了学生的能力.当然，如果是高利害的中考试卷，确实要适当降低起点.作为模考题，主要基于如下考虑.

第一，尺规作图及作法在课标中明确要求，应该值得教学重视，这是几何教学的重要价值.另外就尺规作图来说，基本作图的适当变式、草图分析等都尽显智慧，且这是第27题，并不是第20题的位置，考生应该有心理准备.

第二，对于第一问做不出来的考生，即将参加中考，仍不知道“跳步解答”（罗增儒语），这说明备考策略、应试策略还有很多要做的事……

第三，如果懂得跳步解答，先做后面的设问，也许会反过来提醒自己第一问的作图本质，把智慧数学或数学中的智慧理解成脑筋急转弯，只能说考生对问题缺少深入思考，没有揭示或洞察问题的深层结构.

第四，本题几个设问，命题技术上只是玩了一个“多元表征”理论.

四、写在最后

写文章、创作诗词，最怕的是无厘头的语句、段落，那么命题领域，这种现象广泛存在……很多命题人以为只要把几个小问凑在一个问题下就完事，其实拼凑取向、个人的旨趣，影响了数学的面貌，只会让练习者讨厌数学，问题很大……数学命题的专业队伍建设之路漫漫.当然，上乘的命题艺术，一如绘画、诗词，前后看似毫无关联，却于留白处引人入胜，并会遇到知音、引发共鸣.

参考文献：

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.刘东升.经历问题生成，深刻理解教材——人教八上“每日一题”的命题实践与思考［J］.中学数学（下），2014（4）.

4.刘东升.以本为本：习题变式的视角与可能［J］.中小学数学（初中），2016（1）.Z