☉江苏省如东县实验中学　谢桂芬



一题一课：让复习课走向简约与关联
——以一元二次方程章末复习课为例

☉江苏省如东县实验中学谢桂芬

一、写在前面

张奠宙教授曾对复习课研究提出一些指导意见，建议要加强章末复习课的研究.从近两年《中学数学》（初中版）刊载文章来看，确实出现了不少优秀的章末复习课例成果，展示出老师们对复习课型的最新思考和教学流程，笔者也受益其中.适逢学校近期一次教研活动，有机会执教一元二次方程章末复习课，笔者也构思了一节“一题一课”，得到观摩老师的一致好评，本文记录该课的教学设计与教后反思，与更多的同行分享与研讨.

二、一元二次方程章末复习课例

（一）开课阶段，情境引入

情境问题：用一根长为24m的绳子围出一个长方形.

（1）当长是宽的2倍时，长和宽各是多少？

（2）当它的面积是32m2时，长和宽各是多少？

教学预设：（1）设宽为xm，长为2xm，2x+4x=24，6x= 24，解得x=4，于是2x=8，所以长是8m，宽是4m.

有学生会觉得，老师用这个例子想说明什么呢？这里是复习一元二次方程呀，怎么变成一元一次方程了呢？其实我们只要把问题稍作变式，到了第二问，一元二次方程就出来了！

（2）类似地可设长为xm，可得方程x（12-x）=32，这是一个什么方程呢？是一元二次方程吗？

学生应该能确认这种方程的类型：一元二次方程.

但也有少数学生可能还没有看“清楚”，这是因为还没有把x（12-x）=32变形成一般形式：-x2+12x-32=0，还可进一步变形为：x2-12x+32=0.（注意追求二次项系数为正的，有利于后续运算或求解）这里需要再强调一下一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，其中a≠0）.

从一般形式中对常数a、b、c的限制来看，b、c是可以为任意实数的，比如上面得到的一元二次方程x2-12x+ 32=0，如果做些删减，变成：x2=0，x2-12x=0，x2+32=0，它们还是一元二次方程吗？（注意对照定义来判定）回答是肯定的.

（二）复习解法

针对上面得到的三个“简化”后的方程：x2=0，x2-12x=0，x2+32=0，安排学生求解.

教学预设：对于前两种方程、学生利用直接开方、因式分解，都可以顺利求解，不是本课复习重点.而x2+32= 0，根据平方根的意义是不能求解的，也就是说这虽然是一元二次方程，但它却没有实数解！

（2）继续复习，配方法解方程：x2-12x+32=0.

教学预设：将其配方成x2-12x+36=4，（x-6）2=4，x-6=±2，所以x-6=2或x-6=-2，即x1=8，x2=4.

（3）复习推导一元二次方程的求根公式.

教学预设：引导学生推导出一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：

教学预设：待学生推导出来之后，安排学生利用公式法解方程x2-12x+32=0！

明确提出规范表达的要求：

教学预设：需要提醒学生的是，运用公式法解方程，不宜跳步，要规范表达上述步骤，因为随意跳步不但会增加算错的风险，还是对规范表达的漠视，可不是一个好习惯呀！比如，提供一个错误解答让学生参与辨析.

错例辨析：解方程：x2-4x+1=0.

分析：这个学生喜欢跳步解答，因为“跳”，就出现了代入算错的情形.

（三）根的判别式及应用

拓展问题：用一根长为24m的绳子围成的长方形，面积能否等于40m2？

教学预设：根据前面的经验，学生可以列出方程：x（12-x）=40，并且变形为一般形式：x2-12x+40=0，运用配方或求根公式法都会发现该方程是无解的，从而发现面积不可能等于40m2.

继续追问：用一根长为24m的绳子围成的长方形，最大能围成的面积是多少呢？

教学预设：引导学生将这个问题“数学化”：关于x的方程为x（12-x）=S，求S的最大值.

将其“一般化”：x2-12x+S=0.根据一元二次方程求根公式中根的判别式，Δ=b2-4ac=144-4S≥0时，方程有实数解，即S≤36，即S的最大值为36，也就是用一根长为24 m的绳子围成的长方形，最大能围成的面积是36m2.

（四）小结与检测

（1）把上面提到的一些知识或方法用下图总结出来，供学生复习与体会：

（2）由于课堂教学时间原因，这一章还有很多值得拓展复习的内容，比如一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用问题等.

（3）限时检测（一共6小题，每小题20分，满分120分，限时10分钟）

已知一元二次方程x2+bx+c=0.解答下列各题：

（1）当b=2，c=1时，直接写出方程的两个实数根；

（2）当b=4，c=3时，用配方法解方程；

（3）当b=5，c=4时，用求根公式法解方程；

（4）当b=6时，方程一定有实数根，求c的取值范围；

（6）若点（b，c）在直线y=x-1上，试判断方程解的情况，并说明理由.

三、教后反思

1.一题一课让复习环节走向关联

坦率地讲，当下不少复习课仍然存在着以大量习题训练讲评代替复习课的教学设计，导致学生复习期间课上做题、课后做题，机械重复，特别是优秀学生“空转”现象严重.所以预设“一题一课”可以让不同复习环节走向关联，将不同的复习内容放置在一个大的情境问题的背景之下，使学生理解由一个问题出发，以点带面，复习整章内容，而且使这一章的诸多内容获得了一个主线，让学过的知识像葡萄一样串成一条线.

2.一题一课让复习流程平滑转场

我们知道，优秀文学、影视作品都努力经营着转场效果，使得前后片断的转接自然而然.然而，我们现在看到的很多数学课堂，多是讲解新知后加一个例题，再来一个不同方向的例题，一组基本无关的练习，这样的教学流程让数学变得机械而无趣.所以我们构思一题一课还有一个好处，就是让不同的教学流程之间变得可以平滑转场.比如，本文中在拓展思考时就是针对开课前的情境，很自然地思考围成长方形的面积能否达到40m2，引出根的判别式的复习，并进一步思考围成面积的最大值.

3.一题一课需要对话追问和训练

当一题一课使得课堂环节变得简约之后，就需要预设不同教学环节之中的对话与追问，通过对话拓展学生的思考，暴露学生的思维，使得学生理解得更全面、深刻，让不同的人有不同的理解深度.同时也要加强训练，比如引入错题剖析，小结时及时检测反馈，确保复习效果.

四、写在最后

一题一课的实践还很初步，在《中学数学》（初中版）上也散见少数课例体现了简约、关联的追求，期待有兴趣的同行一起研究、丰富案例.

参考文献：

1.章建跃.从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学［J］.中国数学教育，2013（7/8）.

2.严莉.对一份“习题单”式导学案的商榷——以“有理数乘法（第1课时）”为例［J］.中学数学（下），2014（11）.

3.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.Z