☉江苏省无锡市太湖格致中学　陈　锋☉江苏省无锡市东绛实验学校　薛　莺



剖析典例问题引领递进提升
——基于多维目标的复习课递进式问题串的设计尝试

☉江苏省无锡市太湖格致中学陈锋
☉江苏省无锡市东绛实验学校薛莺

一、问题背景

初三第二轮数学复习课对广大教师来说一直是一个研究的热点课型，它的有效性直接影响学生复习的效能，如何巧妙地贯彻新课程的课堂教学理念？如何在课堂上避免就题论题，避免题海训练的低效教学？利用将知识与技能、思想与活动经验等多维教学目标镶嵌于逐层递进的问题串中，沿着学生的认知轨迹展开复习，让学生能从一个问题掌握一类题型，从一串问题探究一片知识，从而达到举一反三、触类旁通的效果，最终真正实现数学能力和创新能力的提高，达到“一串问题包含初中绝大部分数学知识”的更高境界.下面，笔者就以自己上过的一节初三第二轮复习课的递进式问题串教学为例，来谈一谈如何从一个容易、轻松、常见的问题入手，通过对典型问题进行一系列的变通推广、探索引申、提炼升华，不断发掘出孕育方法内涵、涵盖相关知识体系、难度递增的递进式问题串，让它可以成为学生能力提升的有效平台！成为提高初三数学教学行之有效的手段之一.

二、基于多维目标的递进式问题串设计前期思考

1.原创题源

题源（2014年中考模拟题）如图1，已知线段AB，A（-1，2），B（3，6），M是AB的中点，E、F在AB上，且AE=EF=FB.

图1

2.设计思路

从一条小小的、似乎很不起眼的线段和结构简洁、难度相对容易的问题出发，在教师设置的认知冲突启发下，连续演绎出难度阶梯性递进的12个问题.这种“多维度递进式问题串”的设计，是通过递进式的问题，带领学生进行主动学习，从教学目标的多个维度进行自我建构的过程，一个个彼此关联难度递进的问题，使前一个问题作为后一个问题的基础和前提，后一个问题作为前一个问题的发展补充和拓展延续.这样每一个问题都成为学生思维的阶梯，多个问题形成一个具有一定层次和逻辑结构的问题串，让不同层次的学生都参与到教学活动中来，在知识与技能、过程与方法、思维与能力等多个维度均得到显著的提升，由浅入深、由表及里，把中考数学综合题以点状知识点的形式贯穿于问题串的始终.

3.课堂预设

这是2014年中考模拟考试卷上的一道综合题的题干部分.而经过一轮复习后，学生对综合题有一定的接触和了解，但存在着一定的心理恐惧，在中考即将来临之际，除了对知识和方法的系统总结，更是对孩子心理的挑战.因此，老师要利用并调节好学生对待综合题的心理.因课堂时间有限，加之二轮复习课与新授课模式和习题课模式完全不同，教师决定尝试利用一张图和一系列问题贯穿整堂复习课.

三、基于多维目标的递进式问题串具体操作策略

（一）第一维度：通过函数基本问题串，激活认知，梳理基本公式和基本定理

1.问题串展示

问题1：求直线AB的解析式；

问题2：求线段AB的长度；

问题3：求点M的坐标.

问题4：求点E与点F的坐标.

2.教学流程

学生结合图形、围绕平面直角坐标系中的点线提出问题，教师梳理并展示上述4个相关问题，让学生说解题思路.因为学生都做了充分预习和相应准备，学生运用相关的基本公式较为顺利地解决了问题，用待定系数法得到了问题1的答案：直线AB的解析式为y=x+3；利用勾股定理来解问题2，学生容易得到；对于问题3学生利用中位线定理，作垂直，再用勾股定理得到M（1，4）；问题4的思路方法是利用坐标公式，可以得到.教师在学生展示的基础上归纳4个基本公式和基本方法：①对于问题1，强化两点式（A、B两点确定直线AB）.②结合问题2及学生的解法总结两点距离公式让学生对公式的本质和基本图形了然于心.③对于问题3，则是提炼中点公式，让学生体会，比利用中位线定理和勾股定理会简单和方便，推广在平面直角坐标系中平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关问题用此公式就会更简单.④问题4则指明学生的解题理论依据是相似的性质.

3.策略引导

上课伊始，教师遵循“低起点、小台阶”的原则，巧妙地引导学生结合图形自主提出问题，再将问题进行合理地组合，以一个简洁的问题串为载体，将学生头脑中原本零散的知识和方法串联起来，既有效地激活了学生对数和形的认知，又充分地调用和梳理学生已有的学习经验，为之后的教学做好了知识铺垫.一方面，因为这些问题是直角坐标系中的常规问题，对学生而言不难解决，这样可以消除学生解题时的恐惧心理，为学生营造良好的情绪环境，拉近了问题与学生之间的距离，激活了学生强烈的求知欲望.另一方面，通过小问题的形式既训练和巩固了中考的基本要求，又对整个初中阶段涉及函数的基本公式、基本定理进行梳理和系统化，以唤起学生对旧知的记忆，让学生对知识与知识间的结构联系有了一个全新的认识.这一基于基本知识层面的问题串的设计体现了三点优势：一是因为问题来源于学生的思考，节约了学生理解问题的时间，让问题更有针对性和目标性，从而提高了课堂效益.二是这一系列螺旋上升的问题涵盖了直角坐标系中的中点坐标、线段长度、直线解析式的所有常见公式和方法，提高了课堂效能.三是这一问题串是基于同一图形的衍生问题，能增强学生对基本图形的认识和强化学生的模型意识.

（二）第二维度：通过函数几何问题串，整合认知，提炼基本技能和基本思想

1.问题串展示

问题1：在x轴上求点P，使PA=PB；

问题2：在x轴上求点P，使△PAB是等腰三角形；

问题3：在x轴上求点P，使PA、PB与x轴所夹的角相等；

问题4：在x轴上是否存在点P，使以AB为直径的圆切于P点？

2.教学流程

教师给出5个问题，让学生独立思考，在学生解决部分或全部问题以后，由学生代表展示解题过程，学生关注到问题1中PA=PB的显性信息，通过设P点为（x，0），用含有字母x的代数式表示PA和PB的长度，再用等量关系列出方程即可得到P点的坐标为（5，0），教师根据学生的解说，适时地进行追问：解决这个问题的思路是如何想到的？让学生从中体会设点法的优势和感悟用方程思想来解决问题这一常用的数学方法；通过师生共同分析问题2中的图形特征，帮助学生克服定势思维，要以P、A、B为等腰三角形的顶点这三种情况进行分类，从而得到，让学生掌握分类讨论的基本思路和方法.接着教师引导学生画出符合问题3的图形，再运用相似三角形的知识将几何问题转化为代数问题，根据比例关系，得到P（0，0），向学生渗透数形结合的思想.问题4让学生回顾“直径所对的圆周角是90°的知识，利用勾股定理列出方程，解得方程无解，进而说明不存在这样的点.问题5利用解直角三角形知识，其最终转化成基本图形——含45°，30°角的特殊三角形，再通过设比例系数，求出最后，教师让学生说一说，这些问题是如何理解的？教师进行扼要的点评并归纳思想方法.

3.策略引导

这一层次的函数几何类问题串着眼于函数的几何运用，按由易到难的顺序逐次展开，循序渐进，虽然问题结构简单，但是环环相扣，其内容与数学课程标准紧密联系，将“与函数相关的解题技能和基本数学思想”蕴含于问题串之中，通过学生对这一技能层面的问题串的探究，实现已知到未知，形象到抽象，低级到高级的自然过渡.首先，在对问题串的解决过程中，学生对常用的数学思想方法有了一个深刻的体会.如问题1利用设点法渗透代数式的思想和方程思想；问题2利用等腰三角形特征渗透分类讨论思想、转化思想；问题3、问题4在解题过程中渗透数形结合思想.其次，这一问题串将中考中常见的函数问题，以函数特征与基本图形（线、角、三角形、圆）相结合的形式呈现出来，借助数学符号语言和图示向学生展示函数的几何特征，让学生在对函数图像的几何特征进行分析及运用的过程中，学会更灵活地对题目中的信息进行提炼和转化，进一步提高了学生理解在函数背景下解决几何问题的基本技能.最后，在解决问题的过程中，不仅让学生对解决函数问题相关方法间的优劣和使用范围有一个深入和系统的比较与了解，而且通过学生的亲历，将直接的技能获得和间接的思想领悟真正内化为学生自己的技能和思想.

（三）第三维度：通过函数综合问题串，升华认知，提升思维能力和解题能力

1.问题串展示

问题1：如图2，直线y=kx把四边形OABC的面积分成1∶2两部分，C（4，0），求k的值.

问题2：动点P从C（4，0）出发，沿x轴向左运动，速度是每秒1个单位，动点Q 从A出发，沿AB运动，速度是每秒1个单位，P，Q同时出发，求PQ的最小值.

图2

问题3：动点P从C（4，0）出发，沿x轴向左运动，速度是每秒1个单位，动点Q从A出发，沿AB运动，速度是每秒1个单位，P，Q同时出发，求PQ中点的轨迹方程.

2.教学流程

教师先引导学生读题分析，帮学生理清题意，自主审题，尝试解答，然后由学生试着说题，分析题意，解释相关解题思路，并陈述解题过程，教师板书关键步骤，学生说题中出现偏差，教师及时提问纠正，对于问题1，由题目条件学生容易想到先求出四边形OABC的面积，然后对过原点的直线y=kx与四边形OABC边交点P的位置（P点分别在AO、AB、BC、OC上）进行分类讨论.再通过合情推理排除P在AO、OC上的可能性，得到P与B重合和P 在BC中点上两种可能性，进而求出直线解析式及k的值.教师针对分类讨论的原因和方法进行必要的归纳和提升.问题2和问题3是2013年的中考压轴题，其中的问题2可以先求出P、Q两点的坐标，然后利用两点式把PQ的长度表示出来，再利用配方求出最值.教师的总结应该让学生对函数背景中的最值问题有一个本质领悟.对于问题3的解法是先设P点的坐标为P（x，y），利用上面中点公式找到x、y的关系式，从而得出轨迹方程.

3.策略引导

这一层次的函数背景综合类问题串，利用常见的函数的图像特征与运动相结合，突出了中考热点（面积问题和动态问题），在整个问题的解决过程中，一方面，让学生进一步感受用图形特征来体现函数特征的解题优势，通过寻找函数背景下的几何图形在变化过程中隐含的不变量及不变关系，以及在复杂的图形中抽取本质的几何量，渗透用含有字母的代数式表示关系式的意识，提高学生计算含有字母的代数式的能力.另一方面，在让学生感悟动态问题本质的同时，对学生数学学习能力、思维迁移能力、分析归纳能力、综合应用能力将会有一个极大的提高.比如，问题1要求学生能把分类讨论作为解决问题的工具来解决具体问题，问题2、3均是以函数的动点问题为背景，综合考查了初中数学的核心知识，对学生的综合运用能力提出了较高的要求.将函数图像所涉及的相关特征，尤其是最值问题，通过问题渗透几何直观及运动观.但是，在具体的实施过程中要避免就问题而问题的机械强化，而要发挥问题串的功能，通过先后问题间的比对，引领学生领悟其中的解题技能和蕴含的数学思想.借此强化解题要从整体把握，而不应着眼于局部.要求学生先全面把握，多角度分析题目条件，透彻理解，改进思路，进而提高学生的思维能力和解题能力.

四、基于多维目标的递进式问题串设计与运用中的注意点

1.基于多维目标的递进式问题串的设计应以精选问题为手段

作为递进式的问题串，首先，应该把握好“起点”，要具有针对性，符合学生的认知规律和心理发展水平，又要设定在学生思维的最近发展区域内.其次，应该注意“顺序”，问题之间的衔接要合理有序，由易到难！层层递进，把学生的思维逐步引向深入.第三，要体现问题的“发展”，问题的解答要多样，问题解决方法要有引申和拓展性，使不同层次的学生在自己能力范围内有不同层次的提升.

2.基于多维目标的递进式问题串的实施应以暴露思维为目标

一个问题的解决，只有充分暴露学生的思维过程，让学生知其然并且知其所以然，才算真正把教学过程转化为思维过程，否则教学只是一种简单的模仿而不是数学的思维活动，起不到真正提高能力的作用，所以在递进式问题实施中一定要把问题的发展过程和解法探索过程充分展示出来，并总结、归纳、提炼学生在解题过程中是怎样运用数学思维发现问题和解决问题的.

3.基于多维目标的递进式问题串的解决应以学生探索为主体

递进式问题的解决过程其实是在教师组织下学生自主发现和探索的过程.因此，在递进式问题的解决过程中，首先，切忌教师包办代替，否则课堂教学会变成填鸭式、满堂灌的教学.学生的主体地位就得不到充分的发挥.其次，难度呈阶梯性增加的问题的各种解法也有难有简，这样可使不同层次的学生找到自己的位置，使他们的主体性在自己的层次上得到充分的发挥.H