☉江苏省如皋市初级中学　黄亚军



类比学习：用经验“催生”知识
——以“多边形的内角和”为例

☉江苏省如皋市初级中学黄亚军

类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.作为初中阶段的一种非常重要的数学思想方法，它在学生的学习过程中发挥着巨大的作用，使学生已有的知识和经验得以自然延续，并催生出新的数学知识.现结合“多边形的内角和”一课的两则教学片断谈谈笔者对此的看法，希望能引发大家的思考.

一、两则教学片断及评析

片断1类比三角形的“学习主线”获取多边形的“学习主线”.

教师：我们前面学习了三角形的哪些知识？

学生1：几条重要线段，比如边、高、中线、角平分线.

教师：还学习了什么？

学生（齐）：角.

教师：哪些角？

学生2：内角和外角.

教师：学习了这些角的哪些知识？

学生3：内角和、外角和、外角的性质等.

教师：好的！昨天，我们已经学习了多边形的定义，知道了多边形中存在着边和对角线这两类重要的线段.猜一猜，我们接下来要学什么？

学生4：多边形的角！

教师：不够具体！

学生5：内角和外角！

教师：好的，能再具体些吗？

学生6：内角和、外角和.

学生7：还有外角的性质.

评析：在前面几节课上，学生沿着“定义—重要线段—重要角”的知识线，学习了三角形的有关知识.人教版教材中，几乎所有的几何图形的认知都是沿着这样的知识线展开的，多边形也不例外.这节课学习的是“多边形的内角和”，是在学生获得多边形定义，并认识了多边形的边和对角线的基础之上进行的.因此，教师首先带领学生梳理了获得三角形的相关知识的历程，有效地唤醒了学生积累下的几何学习经验，接下来，采用类比的方式，让学生猜一猜“我们接下来要学什么”，三角形的“知识线”就被十分顺利地“移植”到了多边形中.知识的梳理，经验的延续，为学生即将展开的探究铺平了道路.

片断2类比四边形内角和的探究历程探究n边形内角和公式.

如图1，教师先引导学生连接对角线AC，将四边形ABCD分为两个三角形，进而归纳出四边形ABCD的内角和即为两个三角形的内角和之和，也就是180°×2= 360°.接下来，教师请学生根据探究四边形内角和的经验自主探究五边形、六边形、n边形的内角和.

学生在经历了自主探索，小组交流后，向全班展示了如下成果：

图1

图2

一生结合图2进行了交流：连接AC，AD.则五边形ABCDE就被分成了3个三角形，所以，五边形的内角和为180°×3=540°.

一生结合图3给出类似的陈述，最终得出六边形的内角和为180°×4=720°.

图3

图4

接下来，一名学生给出了图4，并简单交流了n边形的内角和获得的过程：通过过一个顶点作对角线，将n边形分成了（n-2）个三角形，所以，n边形的内角和为180°×（n-2）.

教师在归纳得出多边形的内角和公式后，对公式的探讨并未就此打住，接着投影图5，问学生：你能用这幅图来说明四边形内角和为360°吗？

图5

经过短暂的思考后，很多学生给出了求这个四边形内角和的式子：180°×3-180°=360°，教师给以肯定，并请一名学生说出思路：PA与PD将四边形分成3个三角形，四边形内角和等于这3个三角形内角和之和减去平角∠BPC.教师提出问题：类比此法，你能给出五边形、六边形及n边形的内角和的求解过程吗？

学生展开与刚才类似的探究，用这种转化方法同样得到了多边形的内角和公式.

最后，教师请学生对这两类方法进行了小结，强化学生对“多边形的问题可以转化为三角形的问题”的转化思想和“多边形的问题解决可以由四边形问题的解决类比展开”的类比思想的感悟，为今后的几何学习积累经验.

评析：多边形的内角和是本节课的核心内容，学生虽然有了三角形内角和的探究经验，但这一经验在本节课上并不能起到多大作用，因此，教师没有利用这一已有经验展开学习，而是将多边形的对角线引入，将多边形转化为学生熟悉的三角形进行探索.由于在多边形学习时，教师已经有意识地将“从一个顶点作出的所有对角线能将n边形分成（n-2）个三角形”埋藏其中，本节课上引导学生从这一知识入手展开的探索是较为合适的.为此，教师先让学生作对角线，求出四边形的内角和.这一过程表面看为的是结果，但是细细分析后面的探究历程，实则不然，这一过程完全是为多边形内角和的一般结论的探索积累经验，它是学生获取多边形内角和公式的起点，也是铺垫，保证接下来对五边形、六边形及n边形内角和的探索有了基本经验.教师在学生类比得出多边形内角和公式之后，让学生再度经历另一种不同路径下的类比学习，为的是让已有的经验进一步强化，体会转化思想的妙用，同时使学生体会到数学结论获得的严谨性和多维性.

二、关于类比学习的几点感悟

1.时间作保，有序推进

任何形式的数学探究活动，时间是最基本的保证.学生理解数学知识，形成数学技能，感悟数学思想，积累数学活动经验，哪一样不需要时间.所以，我们的教学应根据学生认知需求和认知发展的规律，给予他们充实的探究与“消化”的时间，以便学生能充分经历问题解决思路的摸索和规范自己的求解过程.在类比学习中，时间的保证显得尤为重要.类比学习，发挥作用的主体是学生的旧知识、旧技能和旧经验，教学中对这些类比基础的唤醒就需要时间，而让学生应用旧知催生新知，就更加离不开时间了.上面的片断1中，如果没有教师引领下的三角形“认知主线”的梳理，想要类比获得多边形“认知主线”是不太可能的，所以教师花的时间是值得的，也是有效的；片断2中，先对四边形展开的探究，耗时8分钟，这是获得知识与积累经验的8分钟，学生主体的时空经历为后续的认知积聚了充实的体验和感受，笔者认为，如果没有这一时段的思维与摸索，后面的类比学习是很难展开的.所以，类比学习，时间是最根本的保证，无论是经验的积累与唤醒，抑或是基于经验的深度探索，都必须给学生留出充足的“发酵”时间，让他们经历、体验、感知、升华，并最终形成新的“四基”.

2.经验打底，提升建构

类比学习，经验是最重要的.没有经验的类比认知是无法展开的，因此，我们应重视数学基础知识获得过程中的附加产品——数学基本活动经验的教学，尤其要重视那些能够实现类比学习的起始经验的教学.以本文所述案例为例，学生学习三角形所积累下的经验就是初中几何学习的起始经验，有了这一经验的“打底”，所有图形的认知都可以类比展开.还以片断2为例，教师为了实施类比学习，让学生经历了四边形内角和的探索历程，这一轮探索的经验积淀，为接下来的五边形、六边形等多边形的内角和的获得夯实了经验基础，保证了学生的更高一级的探索，无需再“另起炉灶”.当然，类比学习，仅有经验打底是不够的，我们还应重视已有经验的再提升.在学生获得数学知识的过程中，其经验会随着个体认知水平的不断提升变得越来越丰富.在此过程中，对经验的再加工将有利于其融入到学生的知识网络中，形成系统化的经验体系，为复杂问题的解决埋下伏笔.片断2中的这位老师还是煞费苦心的，他在学生获得内角和公式后并没有让学生止步于此，而是给了一个新的途径让学生继续展开类比学习，这是对学生已得经验的一种正向强化，有利于学生将这节课获得的经验与潜藏于脑海中的转化的经验、不完全归纳的经验链接起来，形成对今后数学学习与生活有利的“经验串”.

3.指导引领，推陈出新

“教师是学习的组织者、引导者与合作者”，这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》给出的教师角色定位.在类比教学中，我们应摆正自己的位置，当好“组织者、引导者与合作者”.类比认知，需要教师的精心预设，只有在合理预设下的课堂活动中，学生的知识与经验才能够被顺利唤醒，才能成为新知生成的“推进剂”；类比教学，需要教师的指导，学生学习不可能一帆风顺，教师在学生遇到困难时决不能袖手旁观，应该给他们指路，让他们的探索行进在正确的道路上；类比教学还需要教师的引领，类比更多的是一种知识与经验的自然延续，在问题解决过程中，教师示范引领将会给学生以榜样，让他们学着做，做着学，在学与做的交融中实现“四基”的获得和“四能”的提升.还是回到本文给出的两则片断上来，教师的定位是准确的.他的出现都是在教学的关键时点上，片断1中的追问是“逼”着学生对自己的大脑展开搜索，以回忆出对本节课学习有用的知识和经验；片断2中，不乏教师基于学生已有知识之上的引导，比如图1中辅助线的添加，图2、3、4中结论的归纳，虽然学生可能会给出较为准确的探索历程，但结论的归纳未必能一步到位.所以，教师在此时介入，将会让学生更加明晰自己所展开的类比学习的价值，从而助推旧知的应用与新知的生成.

三、写在最后

数学教学中，学生是唯一的主体，教师无论教多么简单的知识，采取多么先进的教学方式，学生不主动投入其中，效果都会很差.所以，很多一线教师都在找寻着能够激发学生主动参与数学学习热情的“法宝”，但鲜有成功.类比教学，或许能算一条捷径吧，至少在类比认知过程中，教师退居“幕后”，学生成为真正的主人，他们在充分调动着自己的所有潜能，让自己已有的知识、技能、经验、方法都发挥着作用，所有探究活动的朝向都是教者和学生共同期待的新授知识或问题解决路径.如果真能顺利开展这样的类比学习，应该是一件非常幸福的事.为此，我们要努力，类比学习除需要时间、经验和教师的指点引领外，个体的情感投入是最为重要的.笔者认为，没有情感的数学学习是不“美”的，通过类比学习，我们要让学生能体验到新知获得的愉悦感和成就感，只有这样，我们所期待的数学学习的快捷通道才有可能被打通.

参考文献：

1.刘华.追求逻辑连贯的数学教学——以“多边形内角和”教学为例［J］.中学数学（下），2015（6）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.林群.义务教育教科书·数学（八年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.林群.义务教育教科书·教师教学用书·数学（八年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

5.张守荣.“失败”的一节数学课［J］.中学数学（下），2012（10）.

6.韩苏文.基于化归思想经历探究过程——“探索多边形的内角和与外角和”课例反思［J］.中国数学教育（初中版），2011（7）.H