安徽省灵璧中学　　王　跃　　(邮编：234200)



复合函数零点个数的探究

安徽省灵璧中学王跃(邮编：234200)

摘要函数的零点是高中函数知识模块中占有及其重要的地位. 复合函数零点个数的判断是高考的热点、难点.在分析解题思路、探究解题方法中发挥着重要作用，它把函数与方程紧密地联系在一起，是函数的一个非常重要的特性.

关键词复合函数；零点；方程

复合函数的零点问题是高考、模拟及调研考试中的热点问题之一.复合函数涉及内外两层函数是学生的一个难点，也是考查的重点.考查方式多以选择题、填空题的形式出现，可以说是小题中的大题，大多作为小题的把关、压轴.这类问题往往涵盖函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归四种数学思想，所以复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，对考生的思维能力、运算能力和应变能力都有很高的要求.

1预备知识

一般地，对于函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根x叫做函数y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即方程f(x)=0有实数根⟺函数y=f(x)有零点⟺函数的图象与x轴有交点.

证明因为xi是方程f(x)=0的根，所以f(xi)=0； 设l1、l2、…、lni为方程g(x)=xi的不同的实数根，所以g(l1)=g(l2)=…=g(lni)=xi,所以l1、l2、…、lni也为方程f[g(x)]=0不同的实数根，即l1、l2、…、lni为y=f[g(x)]的零点.故函数y=f[g(x)]的零点共有(n1+n2…+nm)个.

上面的两个命题，为解决复合方程零点问题提供方便.对于复合函数零点问题，只需研究外函数和内函数的不同根的情况即可，也可以用上述命题……