福建省惠安第三中学　　江志杰　　(邮编：362100))



着眼数学建模提升核心素养
——记一节《组合数模型的应用》复习课

福建省惠安第三中学江志杰(邮编：362100))

《关于普通高中数学课程标准修订》的专题报告中提出：中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养．这个报告内容新鲜深刻，昭示了高中数学课程进一步改革的思想，也映射出整个高中课程改革的发展方向，有着极其重要的指导意义．在六大核心素养中数学建模强调应用，目前仍然是数学学习中的短板，短板应当如何在日常教学中补齐落实呢？下面笔者以一节《组合数模型的应用》复习课为例，谈谈如何建构合理恰当的数学模型化解数学问题：

【教学目标】

1.初步学会构建数学模型，熟练运用组合数公式解决各种常见的计数问题；

2.提升学生在变式探究、转化化归、分类整合以及类比迁移等方面的综合能力．

3.培养学生在数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的核心素养．

【教学重点】

构建合理的数学模型解决各种常见的计数问题．

【教学难点】

从纷繁复杂的数学问题中提炼合理的数学模型．

【教学过程】

1复习引入

1.1组合数公式

1.2引例

设计意图本题貌似排列问题，实则运用组合模型解决；因为同种颜色球大小、形状、质地完全一样，我们真正关心的是10个位置中哪6个位置放白球，剩下的4个位置自然放黑球．该题目的在于提醒学生对于排列组合知识切不可生搬硬套，同时也为解决接下来一系列计数问题提供基础模型或思维载体．

2研探拓展

设计意图依题意，亮着的6盏灯相当于6个白球，关灭的4盏灯相当于4个黑球，故本题实乃“换汤不换药”．

设计意图按照题意注意到从点A到达点B必经过6步“横格线”和4步“纵格线”，因此问题转为10步中哪6步走“横格线”(相当于白球)，剩下4步走“纵格线”(相当于黑球)的组合模型，再次从图形的角度强调上述模型的广泛应用以及数学抽象概括能力．

设计意图本题目的一方面在于展现“插空法”解决不相邻问题，另一方面更在于引导学生将眼光转移到在6盏亮灯“空隔”的位置上放入4盏关灭的灯，即在位置之外的“位置(空隔)”建立组合模型．另外，若将6盏亮灯当做6个相同的白球，4盏关灭的灯当成4个隔板，于是问题转为：6个相同的白球放入5个不同盒子，每个盒子至少一个，共有多少种方法？

变式2-1关于a、b、c、d的方程a+b+c+d=10有______组不同的正整数解．

变式2-2关于a、b、c、d的方程a+b+c+d=10(其中a≥2,b≥3)有______组不同的正整数解．

设计意图本题原型是：10个评优名额分给a、b、c、d四个班级，要求a班至少2个，b班至少3个，c、d班各至少一个，问共有多少种不同的分配方案？本题变式目的在于体现以基础模型为“范本”，将“非标准”模型转换为“标准”模型或熟知模型来解决．

做一做

变式2-3关于a、b、c、d的方程a+b+c+d=10有______组不同的非负整数解．

变式2-4从地面到观望台须登上10级台阶，若某人每登一步或1级或2级，则这个人有______种不同的登阶方式．

设计意图本题入手的经典思路在于分类列举，凸显夯基固本、回归常规路线建构组合数模型．本题解法的关键在于先确定这个人共登多少步，其中有几步放“1级”(相当于黑球)，剩下几步放“2级”(相当于白球)．

解析设这个人有x步登1级，有y步登2级，则x+2y=10(其中x、y∈N)．

综上，这个人有N=1+9+28+35+15+1=89(种)不同的登阶方式．

设计意图以此揭示经典的组合模型往往巧妙地蕴含在抽象的数学语言背景中，要求学生在充分阅读材料的基础上，通过数学抽象概括为熟知的数学模型．本题解法的关键应明确产生数列种数的来源在于前后项的“变化”，于是问题的核心应在于前后项的“变化”共有多少种？所以我们所研究的目标位置就是7个前后项之差，也就是前后项7个“间隔”中有多少个放“+2”(相当于黑球)，剩下几个放“-2”(相当于白球)，再次强调在数列项的位置之外的“位置(空隔)”构建组合模型．

想一想若某位同学在某一周的第一天和第七天分别吃3个苹果，且从这周第二天开始，每天所吃的苹果个数与前一天相比存在3种可能：或“多吃一个”或“持平”或“少吃一个”，则该位同学在这一周的每天所吃的苹果数有______种不同的可能性．

综上，该同学在这一周的每天所吃苹果数的可能性有：______种．(答案：141)

设计意图本题是上题的背景变式与延续应用，它们一脉相承、前后呼应，解法上因为有上题作铺垫，问题的关键点还在于6个“苹果数之差”(位置)，应安排多少个位置放“+1”(相当于黑球)，多少个位置放“-1”(相当于白球)，剩下的位置放“0”(相当于红球)才能满足题意(即保证a1=a7=3)．

3总结归纳

(1)纷繁复杂的计数问题归根结底在于寻找合理恰当的数学模型，从而简捷形象地化解；

(2)解决计数问题的一大关键就是要搞清问题的目标位置在哪里，目标元素到底是谁？

(3)回顾上述一系列问题的变式实质上都在用同一种组合数模型来刻画，强调“模型归一、多题一法”，我们务必要将常规的经典模型研究透彻，加强解题反思，寻找题目之间的共性所在，才能实现以点带面、举一反三的效果．

4结束语

(1)组合数模型应用充分说明：数学建模是联系数学知识和数学应用的桥梁，其能有效地将思维过程简约化、形象化．建立数学模型的过程，是将错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，通过观察和探索研究对象的固有特征和内在规律，利用数学的知识和方法去分析并解决问题．对数学模型的理解、把握和构建的能力，在很大程度上反映着数学思维能力、数学意识及运用数学的方式．这就需要我们须有深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力、想象力以及良好的数学素养．

(2)反思本节所探究的一系列问题变式，其实都在倡导“模型归一、一法多用”的理念，所谓“模型归一”顾名思义就是将类似的数学问题用同一模型来概括刻画，将一个个纷繁复杂的题目转换成我们熟悉的一个典型模型加以解决，凸显出数学问题的本质，达到“学一题会一类”之功效．可以说，“问题是数学的心脏”，一系列好的数学问题往往就是提升数学核心素养的良好素材．

(收稿日期：2016-04-12)