应雪海，蔡光辉

（浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州310018）



带齐次权的Hardy型不等式

应雪海，蔡光辉

（浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州310018）

在采用Hoffmann-Ostenhof和Laptev构造权函数的思想，进行加权推广，给出了一类带齐次权的Hardy型不等式.利用Avkhadiev和Wirths得到的一维Hardy型不等式，运用放缩法，得到一类带余项的加权Hardy型不等式.获得的结论将Hoffmann-Ostenhof和Laptev中的相关结论推广至加权与带余项的情形.

Hardy型不等式；齐次权；余项

§1引　言

1920年Hardy得到积分型的Hardy不等式［1］：

其中等号当且仅当f（x）≡0时成立，（p/（p - 1））p是最佳常数.

有关Hardy不等式推广和改进的研究工作可以参考文献［2-6］.

Hoffmann-Ostenhof和Laptev［7］证明得到如下Hardy型不等式：存在τ＞0，使得对所有u∈下式成立

其中Φ是一类定义于Sd-1上的可测函数，满足即

本文的主要目的是采用Hoffmann-Ostenhof和Laptev构造权函数的思想，进行加权推广，给出了一类带齐次权的Hardy型不等式.利用Avkhadiev和Wirths得到的一维Hardy型不等式，运用放缩法，得到一类带余项的加权Hardy型不等式.获得的结论将Hoffmann-Ostenhof和Laptev中的相关结论推广至加权与带余项的情形.

§2　引理

首先，引用文献［8］中关于在Lp（Sd-1）上薛定谔算子-△ϑ-Φ，Φ≥0的第一负特征值λ1的精确估计，其中-△ϑ是Sd-1中的拉普拉斯-贝尔特拉米算子，注意均需满足条件d≥3.

引理1［8］设d≥3，且0≤Φ∈Lp（Sd-1），其中p∈（（d - 1）/2，+∞）.则存在一个递增函

数β: R+→R+，当µ∈［0（p - 1）］时，

成立.

对任意非负、非平凡的函数Φ，可知λ1（-△ϑ-Φ）始终为负，再由变分原理及（4）式，可得

引理2设d≥3，0≤α≤d - 1，对于任意函数u（x）∈C0∞（Rd），则有如下加权Hardy型不

等式成立：

证运用散度定理，有

由（7）式和柯西-施瓦茨不等式，可以得到

由（8）式，可得（6）式.至此引理2的证明完毕.

引理3设τ＞0，d≥3，且0≤α≤d - 1.则

证令……