张华民，殷红彩,梅　红

Cayley-Hamilton定理的几种证法

张华民，殷红彩,梅红

摘要:通过Krylov子空间、Schur定理和数学归纳法等方法，给出了Cayley-Hamilton定理的三种证法。

关键词:Krylov子空间; Cayley-Hamilton定理; Schur定理

1Cayley-Hamilton定理

Cayley-Hamilton定理是用英国数学家Arthur Cayley(1821-1895)和爱尔兰数学家William Rowan Hamilton(1805-1865)的名字命名的一个定理[1]，同时也是线性代数中的一个重要定理，该定理在矩阵的逆和广义逆的计算、矩阵幂的计算和矩阵指数函数的计算中有重要的应用[2]。下面先给出这个定理。考虑一元多项式方程根的情况，本文的讨论在复数域上展开。

设复数域C上的方阵为A,即有A∈Cn×n,该矩阵的特征多项式f(λ)定义为

Cayley-Hamilton定理实数域R上的每个方阵A都满足它的特征方程，即有

其中O为n阶零方阵。

2Cayley-Hamilton定理的几种证法

Cayley-Hamilton定理有多种证法，但下面参考文献[3]的证法并不常见。这种证法是受Krylov子空间的启发。该方法并不要求明确知道矩阵A,只要知道向量Au的产生机制就行了。先给出如何用这种方法来确定矩阵A的特征多项式。

任取u∈Cn,此处不妨设u=(1,0,0,…,0)T,计算向量序列Au,A2u,…,每计算下一个向量前先判别向量组u,Au,A2u,…,的线性相关性.不失一般性，假设向量组u,Au,A2u,…,Ar-1u线性无关，而向量组u,Au,A2u,…,Ar-1u,Aru线性相关。在下面的等式中设向量Aru的系数为1，即有

b0u+b1Au+b2A2u+…+br-1Ar-1u+Aru=0.

注意到在复数范围内，实系数多项式总可以分解成一次因式的乘积，即上式可写为

上式的每一种记法均表示矩阵A的一个特征值和对应的特征向量，即均表示一个特征对，例如上式第二个等号右端的式子表示(A-λ2I)…(A-λrI)u是特征值λ1的特征向量。

注意到n+1个n维向量必线性相关，故如果r=n,则……