胡晓山，　刘继成

(华中科技大学数学与统计学院， 武汉430074)



混合型随机变量数字特征的计算

胡晓山，刘继成

(华中科技大学数学与统计学院， 武汉430074)

[摘要]利用分布函数的广义反函数，将随机变量表示为均匀分布随机变量的函数，然后用随机变量函数的数学期望公式可计算原随机变量的数字特征，该方法适用于所有类型的随机变量. 最后，利用四种不同方法计算了一个混合型随机变量的数字特征, 说明了这些方法的异同.

[关键词]混合型随机变量； 数字特征； 广义反函数

1问题的提出

对于一般随机变量期望的定义，要么通过概率空间上的积分给出，要么通过分布函数的Lebesgue-Stieltjes 积分给出.具体地，设随机变量X定义在概率空间(Ω,F,P)上，X的数学期望定义为

EX=∫ΩX(ω)dP(ω)，

其中要求积分存在. 该积分是定义在概率空间(Ω,F,P)上的，这需要测度论的知识.若X的分布函数为F(x)，则

(1)

其中等式右边的积分应理解为Lebesgue-Stieltjes 积分, 这需要实变函数的知识. 用测度论中的知识可以证明：(1)中的两个积分有一个存在，另一个就存在，且二者相等.

基于此，目前多数工科概率论与数理统计教材中，只给出了离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的定义及相关计算. 若X为离散型随机变量，pk=P(X=xk)，k≥1为其分布列，则X的数学期望定义为

(2)

其中要求级数绝对收敛. 此时，X的分布函数F(x)是一个跳跃函数，它在每个xk处的跳跃度为pk.对跳跃函数F(x)，(1)式右边等于(2)式的右边. 若X为连续型随机变量，p(x)为其密度函数，则X的数学期望定义……