王良成，　杨明硕，　袁南桥

(重庆师范大学涉外商贸学院，重庆401520)



关于积分中值定理的逆问题

王良成，杨明硕，袁南桥

(重庆师范大学涉外商贸学院，重庆401520)

[摘要]当函数严格单调时，本文证明了积分中值定理中值点的唯一性. 且较完整地解决了该定理的逆问题，其证明也相当简洁.

[关键词]积分中值定理； 严格单调函数； 逆问题； 唯一性

1引言

在数学分析(如文[1])中，有如下众所周知的积分中值定理.

定理A设f(t)在[a,b]上连续.则存在c∈(a,b)使得

(1.1)

上述定理中的c不唯一.文[2]给出了上述定理的逆不一定成立的例子，并改变条件给出了上述定理的如下逆定理.

定理B设f(t)是[a,b]上严格单调函数，则存在点x0∈(a,b)，满足

(i)当ξ∈(a,x0)时，存在唯一点d∈(a,b)，使

(1.2)

(ii)当ξ∈(x0,b)时，存在唯一点e∈(a,b)，使

(1.3)

上述d与e的范围太宽，定理B中的结果不完整，证明也较繁琐；该文[2]在其注2中还表述：“在定理B的条件下，若f(t)在[a,b]上还是连续的，则定理B的x0就是定理A中的c”，事实上这种表述对x0与c的关系未彻底弄清楚.本文在定理B的条件下给出比 (1.1)至(1.3)三式更弱的表达式，获得了比定理B更完整的结论，彻底解决了上述x0与c的关系，其证明也相当简洁.

2两个引理

为证明本文定理，还须如下引理.

(i) g(x)是[a,b]上的连续严格凸(凹)函数；

(ii) ∀x∈(a,b)，则g′-(x)=f(x-0)，g′+(x)=f(x+0).

证不妨设f(t)在[a,b]上是严格单调递增的.

(i) 对∀x,y∈[a,b]，x

λg(x)+(1-λ)g(y)-g(λx+(1-λ)y)

(2.1)

即g(x)是[a,b]上的严格凸函数.由文[1]中的定理7.4知g(x)在[a,b]上是连续的.

(ii) 对∀x∈(a,b)，Δx<0，∀t∈[x+Δx,x]⊂[a,b]，则有

f(x+Δx)≤f(t)≤f(x-0).

(2.2)

上式对t在[x+Δx,x]上积分，并除以-Δx，则有

(2.3)

对上式让Δx→0-0，则有g′-(x)=f(x-0). 同理可证g′+(x)=f(x+0).

当f(t)在[a,b]上是严格单调递减的，则(2.1)，(2.2)与(2.3)三式不等号反向成立.(2.1) 式不等号反向意味着g(x)是[a,b]上的严格凹函数；(2.2)与……