时统业，　秦　华，　王　斌

(1.海军指挥学院信息系，南京211800；　2.海军蚌埠士官学校航海系，安徽蚌埠233012)



与HG凸函数有关的若干单调函数

时统业1，秦华1，王斌2

(1.海军指挥学院信息系，南京211800；2.海军蚌埠士官学校航海系，安徽蚌埠233012)

[摘要]首先证明HG凸函数存在单侧导数.利用HG凸函数的定义和不等式，构造了若干函数，通过研究它们的单侧导数证明它们的单调性.

[关键词]HG凸函数； 对数凸函数； 单调性； 单侧导数

受文[1-5]的启发，本文给出一些与HG凸函数有关的单调函数.

定义1[6]设f(x)区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当对任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有

定义2[7]设f(x)是定义在区间I上的正值函数，如果lnf(x)为I上的凸(凹)函数，则称f(x)在区间I上是对数凸函数.

定义3[8]设区间I⊆(0，+∞)，f∶I→(0，+∞)，若对任意x1，x2∈I，t∈(0，1)，有

(1)

则称f是区间I上的HG凸函数.如果式(1)中的不等号反向，则称f是区间I上的HG凹函数.

引理1[8]设f∶[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)在[a，b]上二阶可导，则f是[a，b]上的HG凸(凹)函数的充要条件是：对任意x∈[a，b]有

引理3[5]设f∶I⊆R→(0，+∞)，则f是I上的对数凸(凹)函数当且仅当lnf∶x∈I→lnf(x)为I上的凸(凹)函数，故此时f在每一处都存在单侧导数，且f′+(x)≥(≤)f′-(x).

引理4[9]设f(x)为区间I上的凸函数，则f(x)在开区间(a，b)⊆I内处处存在左、右导数(从而处处连续)，且对x，y∈(a，b)，x

引理5[9]f(x)在区间(a，b)上为凸函数的充要条件是对任意x0∈(a，b)和α∈[f′-(x0)，f′+(x0)]，当x∈(a，b)时，有

引理6设f∶[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是HG凸函数，则

(i)f在(a，b)各点处的单侧导数存在，且对任意x，y∈(a，b)，x

(2)

由此得

也即式(2)成立.

引理7[10]设f(x)是[a，b]上的连续函数，若f′+(x)或f′-(x)对一切x∈(a，b)有一个单侧导数存在，且非负(允许+∞)，则f(x)单调递增.

定理1设f∶[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是二阶可微的HG凸函数，且2f(x)+xf′(x)在[a，b]上恒号，则函数

在[a，b]上单调增加.

证对任意x∈(a，b)，

因为f是HG凸函数，由引理1有……