赵佳婧，　吴嘎日迪

(内蒙古师范大学数学科学学院， 呼和浩特010022)



新正线性算子在Orlicz空间内逼近的强逆不等式

赵佳婧，吴嘎日迪

(内蒙古师范大学数学科学学院， 呼和浩特010022)

[摘要]Agrawal和Thamer定义了一类新正线性算子，本文利用光滑模、Hardy-Littlewood极大函数、N函数的凸性及Jensen不等式,讨论了该算子在Orlicz空间内逼近的性质，给出并证明了该算子在Orlicz空间内逼近的强型逆定理.

[关键词]算子； Orlicz空间； 逼近； 强逆不等式

1引言和主要结果

关于算子逼近的问题,在连续空间和Lp空间中已有大量研究成果,Agrawal等[1]定义了一类新的正线性算子

其中

约定pn,k(x)=0,k<0.权函数φ2(x)=x(1+x).李景斌[2]等研究了该算子在Lp空间内的逼近性质,文献[3]讨论了该算子在Orlicz空间内逼近的正逆定理，本文将在此基础上进一步研究该算子在Orlicz空间内逼近的强型逆定理.

的可测函数的全体{u(x)},由文献[4]知,上述Orlicz范数还可以由

文中C表示与n和x都无关的常数,不同位置取值不一定相同.

本文的主要结果如下：

文献[5]定义了K-泛函和二阶光滑模

和一阶连续模

则有

其中

P(D)g(x)=(φ2(x)g′(x))′.

2若干引理

引理1[6]对任意n∈N,k≥0,x∈[0,∞),有

证由Taylor展式

以及矩量估计式[1]有

Mn(f;x)-f(x)

由文献[7]的引理1.1知

则有

‖A1‖M≤2n-1‖f′‖M,‖A2‖M≤24n-2‖φ2f″‖M,

由此可以完成引理2的证明.

‖(Mnf)′‖M≤C‖f′‖M.

(1)

‖(Mnf)″‖M≤Cn‖f′‖M.

(2)

‖(Mnf)‴‖M≤Cn2‖f′‖M.

(3)

证这里只证(3)式，类似可得(1)，(2)式.

记an(k)=λn,k(f), Δan(k)=an(k+1)-an(k), Δran(k)=Δ(Δr-1an(k)), r∈N.由文献[7]知

并且当k≥0时,有

经过计算可得

Δ3an(k)=an(k+3)-3an(k+2)+3an(k+1)-an(k)

=Δan(k+2)-2Δan(k+1)+Δan(k)

则有

=∶‖I1‖M+2‖I2‖M+‖I3‖M.

则有‖I1‖M≤Cn2‖f′‖M.同理可得‖I2‖M≤Cn2‖f′‖M,‖I3‖M≤Cn2‖f′‖M,(3)式得证.

证由文献[7]知

利用Hölder不等式知

而

因此

可用类似于文献[7]中引理1.3的讨论方法得出

所以有

‖φ2g″‖M≤C(p)‖P(D)g‖M,

‖g′‖M≤C(p)‖P(D)g‖M.

证仿照文献[8]中引理5的证明过程,即可完成本引理的证明.

3定理的证明

(4)

(5)

(6)

(7)

利用引理2和引理5,结合(4)-(7)式得

当l≥Ln时,由文献[6],以及文献[3]的引理3和引理5知

‖Mnf‖M≤C‖f‖M,‖φ2(Mnf)″‖M≤Cn‖f‖M,

则有

从而有

因此

定理2的证明由K-泛函和光滑模的等价性,结合引理5可得

[参考文献]

[1]Agrawal P N,Thamer K J.Approximation of unbounded functions by a new sequence of linear position operators[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1998,225(2):660-672.

[2]李景斌.一类新线性正算子的Steckin-Marchaund型不等式[J].兰州大学学报,2008,44(6):107-111.

[3]赵……