李蓉

【摘 要】“全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大.论文整理和归纳了全等三角形问题中常见的辅助线的做法。分别列举了几种常用的辅助线的经典例题及解析，让每一种方法兼有理论与实践性.旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果。

【关键词】全等三角形；初中数学；常见辅助线；中考真题

【全等三角形辅助线做法口诀】

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形.

遇到角平分线的三种添辅助线的方法，①可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。②可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。③可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等

例1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）

A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A

解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E，若要∠ACD=∠BCE，则需∠E=∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误

二、截长补短（通常用来证明线段和差相等）

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现。

证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），

∴∠DAE=∠DCF.

又∠BAD+∠DAE=180°，

∴∠BAD+∠DCF=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°

例3.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.

求证：AB=AC+CD.

分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

证明：方法一（补短法）

延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE=∠CED，如图4-2

∴∠ACB=2∠E，

∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠E，

在△ABD与△AED中，

∴△ABD≌△AED（AAS），∴AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.

方法二（截长法）

在AB上截取AF=AC，如图4-3

在△AFD与△ACD中，

∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD=∠ACD.

又∵∠ACB=2∠B，∴∠FDB=∠B，∴FD=FB.

∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

上述兩种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

三、平移变换

若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形，有时可作出斜边的中线.

例4、如图，在?ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：.

解析：先连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE.可知四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，延长AD至H，交BG于H.运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明。

证明：连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE

∵BD=CE

∴DF=EF

∴四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形

∴BG=AC，DG=AE

延长AD至H，交BG于H

∵，

∴

∴

即

点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键，本题借助辅助线DH起枢纽作用。

方法2：取BC中点M，连AM并延长至N，

使MN=AM，连BN，DN

∵BD=CE∴DM=EM

∴（SAS）

∴DN=AE

同理BN=CA

延长ND交AB于P，则，

相加得：

各减去DP，得：

∴

四、借助角平分线造全等

不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的。

例5.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在?ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在?ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：（1）FE与FD之间的数量关系为（2）答：（1）中的结论仍然成立。

证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连结FG

∵∠1=∠2，AF为公共边，

∴

∴∠AFE=∠AFG， FE=FG

∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

∴∠2+∠3=60°

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°

∴∠CFG=60°

∵∠3=∠4及FC为公共边

∴

∴FG=FD

∴FE=FD

证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H

∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

∴可得∠2+∠3=60°，F?ABC是的内心

∴∠GEF=60°+∠1，FH=FG

又∵∠HDF=∠B+∠1

∴ ∠GEF=∠HDF

∴可证

∴ FE=FD

五、通过旋转构造全等

对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形

例6.（2013·河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是 ；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 .

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC

中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.

若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，

请直接写出相应的BF的长.

【解析】①由旋转可知：AC=DC，∵∠C=90°，∠B=∠E=30°，∴∠A=∠D=60°∴△ADC是等边三角形，

∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=60°∴DE∥AC

②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。

由①可知：△ADC是等边三角形，DE∥AC，∴DN=CF，DN=EM，∴CF=EM，∵∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，又∵ AD=AC ∴BD=AC

∵ ∴S1=S2

证明∵DCE=∠ACB=90°，∴∠DCM+∠ACE=180°

又∵∠ACN+∠ACE=180°，∴∠ACN=∠DCM

又∵ ∴△ANC≌△DMC∴AN=D又∵CE=CB，∴

【解析】如图所示，作DF1∥BC交BA于点F1，作DF2⊥BD交BA于点F2。

按照（1）（2）求解的方法可以计算出

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形证明历来是中学、特别是初中数学教学的一个重点和难点，本文系统地归纳整理了几类比较难的全等三角形的證明方法，如若学生在掌握全等三角形的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法和思想，以其为指导，全等三角形问题将能够迎刃而解，使得解决全等三角形问题时思路清晰，运算简便.尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些全等三角形问题时作用很大。