方茁

[摘 要] 以往对逻辑曲线y=

L 1+ae-bx

中参数L，a，b的估计往往是基于一定的经济意义或生物统计的背景，但从纯粹的数学方程角度来看，当L，a，b的取值范围不加任何限制时，是否也能估计出L，a，b呢？文章证明了当（L，a，b）

∈R3

时，y=

L 1+ae-bx

中参数L，a，b不能用最小二乘法估计，并给出了其参数在一定的限制条件下，可以用最小二乘法估计.

[关键词] 逻辑曲线 参数 最小二乘估计

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0049

一、引言

基于残差平方和最小的思想，最小二乘法已在社会生产和实践中得到了广泛的应用.在解决非线性回归模型的参数估计问题时，我们往往将其转化为线性回归模型，进而用最小二乘法估计出其参数，但有的模型并不能通过直观的观察和简单的计算就能转化为线性回归模型，也就谈不上用最小二乘法估计其参数了.这就引发了我们对非线性回归模型的参数是否能用最小二乘法估计的沉思，如常见的逻辑曲线y=

L 1+ae-bx

（（L，a，b∈R3）），其参数L，a，b能否用最小二乘法的思路估计出或至少能被确定属于一定的范围呢？这就是本文所要研究的重点.

二、猜想

任意取n个不同的样本（xi，yi），i=1，2，…，n.只要样本中不含用（0，y（0））；那么逻辑曲线y= L 1+ae-bx （（L，a，b）∈R3）的参数L，a，b就不能用最小二乘法估计出且不能估出（L，a，b）属于R3中某一真子空间，即无法确定（L，a，b）∈H，HR3.

三、证明

假设用最小二乘法可以估计出（L，a，b），尽管（L，a，b）并不一定唯一，即（L，a，b）也可属于R3中一真子空间.

第一步，观察y= L 1+ae-bx ，

∵（xi，yi）可取n个不同的样本，

∴可推断出L的估计，L≠0.

第二步，（Ⅰ）y= L 1+ae-bx （*）两边同时对x求导，得

dy dx =by（1-

y L

）

，其中，y（0）=

L 1+a

（**），

∴参数（L，a，b）的估计若满足……