●吕孙忠　(北京师范大学研究生院　北京　100875)



基本勾股数公式的一个新证法*

●吕孙忠(北京师范大学研究生院北京100875)

摘要:文章从三角函数的角度证明了基本勾股数公式．首先说明了一个角的正弦和余弦值同时为有理数时，该半角的正切值为有理数，接着解释了基本勾股数和单位圆上的有理点之间的关系，最后在这2个命题的基础上证明了基本勾股数公式．

关键词:基本勾股数公式;三角函数

在我国古代数学著作的《周髀算经》中，就有“勾三，股四，弦五”的原始说法，继而诞生了不定方程x2+y2=z2．人们称满足这种不定方程的正整数解(x，y，z)为勾股数．

勾股数有无数多组，并且:若(x，y，z)为勾股数，则(kx，ky，kz)也为勾股数．在这一类勾股数中找出最简单的那一组(x，y，z)，其中，x，y，z两两互素，称这样的勾股数为基本勾股数［1］．

基本勾股数定理［2］不定方程x2+y2=z2适合条件“x＞0，y＞0，z＞0，(x，y)=1，x为偶数”的一切正整数解可以用下列公式表达出来:x= 2p2q2，y=p2－q2，z=p2+q2，p＞q＞0，(p，q)=1，且p，q一奇一偶．

分析先说明x，y，z两两互素，若(y，z)=d＞1，则d|y，d|z．由x2+y2=z2，可知d|x，与(x，y)=1矛盾，故(y，z)=1，同理可推出(x，y)=(x，z)=1．于是x，y，z两两互素．下面说明x，y一奇一偶，因为(x，y)=1，所以x，y不能同时为偶数;若x，y同时为奇数，则z为偶数，此时

但z2≡0(mod4)，这与x2+y2=z2矛盾!因此x，y一奇一偶，在定理中，不妨规定x为偶数．

再将方程x2+y2=z2变形为

文献［2］和文献［3］分别利用了不定方程的理论和数形结合的思想证明了基本勾股数定理，具体证明请参考原文．此外，张景中院士在文献［4］中用了一种初等变形，找到了全部的基本勾股数，这种方法颇具新意，证明也较为简洁，这里对张院士的方法做简要说明．